本文说明了白噪声驱动的非自治随机时滞格点方程的 解 生成共环. 进行了一致估计，尾估计，并证明该系统存在拉回随机吸引子. 最后证明了时滞动力系统的随机吸引子当时滞和特定参数同时收敛时的二重上半连续性.

折现Hamilton-Jacobi方程作为接触Hamilton-Jacobi方程的一种特殊形式, 对其研究具有深刻意义。主要研究$\mathbb{T}^n$上时间周期折现Hamilton-Jacobi 方程$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$ 粘性解的收敛性。若$H$是Tonelli型哈密尔顿函数, 关于$t$ 1-周期, 在一定条件下, 该方程有唯一的1-周期粘性解$\bar{u}_\lambda(x, t)$, 本文验证了当$n \rightarrow \infty$时, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_\lambda(x, t+n)=\bar{u}_\lambda(x, t)$, 其中$u_\lambda(x, t+n)$是$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$的粘性解。最后以一个具体的时间周期折现Hamilton-Jacobi方程说明了本文的结论。

研究一类周期环境中基于个体年龄等级结构的种群系统的最优收获问题. 首先, 应用冻结系数法和不动点理论得到状态系统非负有界周期解的存在唯一性, 及共轭系统的适定性. 其次, 利用共轭系统和法锥技巧导出最优收获策略的结构, 运用Ekeland变分原理证明最优收获策略的存在唯一性. 最后, 通过数值模拟验证理论结果的有效性的同时发现系统的其他动力学性质. 本文的结果推广和改进了相关文献的部分结果.

本文扩展有限多个市场的网络寡头为具有无限多个市场的情形, 将构建具有连续分布市场的网络寡头模型.在完全非合作的假设下, 首先证明Cournot-Nash均衡的存在性. 进一步, 假定厂商集合存在一个联盟结构, 凭借定义联盟成本函数和联盟利润函数, 我们构建了一个基于联盟结构的非合作博弈, 并证明了此博弈中Nash均衡的存在性. 新的网络寡头模型和Nash均衡的存在性证明为本文的主要贡献.

本文提出了一种基于$L_{2}$范数和Spearman相关性系数的检验高维时间序列的序列相关性和自回归条件异方差效应的假设检验方法. 本文研究了所提的统计量的渐近性质, 并提出了一种基于自助法的计算临界值的方法, 证明了所提假设检验方法可以控制第一类错误的概率. 我们的假设检验方法是维数自由的, 即对数据的维数没有要求, 从而可以用于高维时间序列的情况, 同时本方法对数据的尾部性质没有要求, 从而可以用于重尾的情况. 我们使用了数值模拟和实际数据来说明本文所提方法的有效性.

基于空间异质性, 无症状感染宿主和病原体传播途径的多样性, 提出一类具有无症状感染宿主和多种感染途径的反应扩散宿主- 病原体模型, 并利用半群理论, 讨论模型全局正解的存在性与唯一性. 进一步, 根据下一代算子的谱半径方法给出模型的基本再生数$\mathcal{R}_{0}$, 并用其刻画了疾病的灭绝性和持久性. 即, 如果$\mathcal{R}_0 < 1$, 无病稳态是全局渐近稳定的; 而如果$\mathcal{R}_0>1$, 疾病是一致持续的且模型至少有一个地方病平衡态. 此外, 通过构造合适的Lyapunov函数, 证明空间匀质环境下模型无病平衡态和地方病平衡态的全局渐近稳定性. 最后通过数值模拟解释主要的理论结果并探讨扩散速率对感染宿主分布的影响.

本文研究了一类平面凸曲线的全非线性曲率流的非坍塌性. 首先, 我们给出了曲线的内、外非坍塌性的定义, 并通过定义一个函数$Z$, 我们证明了曲线内非坍塌性与函数$Z$的非负性是等价的,外非坍塌性与函数$Z$的非正性是等价的. 之后，我们利用极值原理证明了在一定条件下平面凸曲线缩短流保持非坍塌性.

本文主要研究粘性系数依赖于密度的一维等熵可压缩微极流模型解的时间衰减率问题. 对于参数$\alpha,\gamma\in\mathbb{R}$, 考虑压强$p(\rho)=\rho^\gamma$和粘性系数$\mu(\rho)=\rho^\alpha$. 我们首先利用先验假设及一些精细的能量估计, 研究一维等熵可压缩微极流模型Cauchy问题在常数状态扰动下大初值强解的整体存在性与大时间行为. 进一步, 利用反导数和时间加权能量方法, 我们研究流体比容$v(t,x)$和速度$u(t,x)$的时间衰减率.

研究一类带有乘性噪声的随机发展方程. 在获得随机发展方程的解收敛到Wong-Zakai逼近方程的解后, 使用指数鞅技术、Kallianpur-Striebel公式和Itô公式,证明随机发展方程及Wong-Zakai逼近方程在带有色噪声的观测系统中所产生的非线性滤波的收敛行为, 进一步得出具体收敛速率.

本文在完全可见情形下对带有故障维修和工作休假的流体排队模型进行均衡策略研究, 其中缓冲器在忙期, 工作休假期和故障维修期三种状态之间交替运行. 运用更新过程理论和常微分方程组的标准型理论揭示了流体水平的纳什均衡行为规律和稳态概率分布, 进而利用经典的拉普拉斯变换导出稳态下缓冲器的平均流体水平. 基于经济学和效用原理构建线性社会收益函数, 通过数值分析找到全局最优止步阈值下社会福利的极值. 考虑以流体全局最优止步阈值和入场单价为联合决策变量构建入场费收益模型, 研究全局最优止步阈值对最大入场费收益的影响. 结合认知无线网络信息传输过程中的节点失效和节点半休眠的特点, 研究相应的参数优化策略和社会收益问题, 对于提升认知无线网络的安全传输性能至关重要, 仿真结果可为无线网络资源的优化配置提供理论支撑.

欧拉有向图$D=(V(D),A(D))$称为两不同有向图$D_1,D_2$的粘合, 如果$V(D)=V(D_1)\cup V(D_2)$, $A(D)=A(D_{1})\cup A(D_{2})$且$V(D_1)\cap V(D_2)=\{v\}$. 令$\gamma_{M}(D)$表示$D$的最大亏格, 本文证明了$\gamma_{M}(D_1)+\gamma_{M}(D_2)\leq \gamma_{M}(D)\leq \gamma_{M}(D_1)+\gamma_{M}(D_2)+1$, 并刻画了等号成立的条件. 另外也将结果推广至$k$ 个有向图粘合的情形.

在特定实际问题中，含有序和不等式约束的结构在多个领域中都有着广泛的应用. 在计算这类参数的估计时，通常会受到序约束条件的限制. 例如，在药物检验中，研究人员可能对某个药物的剂量进行限制，因此需要考虑序约束条件. 因此，序约束均值估计在这些应用中具有重要的应用价值. 在以往的文献中，关于序约束下均值估计问题集中在2个和3个多元正态总体，本文在此基础上进行拓展，研究了$k$个多元正态总体均值在简单半序约束下的估计问题，提出总体协方差矩阵$\Sigma_{i}$已知时总体均值基于PAVA算法的一种新估计$\tilde{\mu}$，并证明了它一致优于无序约束下的极大似然估计$\bar{X}$. 最后通过模拟实验验证了新估计方法的有效性，并与极大似然估计方法进行了比较.

本文研究一类具有多种传播途径的随机霍乱传染病模型, 首先通过构造适当的Lyapunov函数, 证明该模型唯一正解的全局存在性和疾病的灭绝性. 其次利用遍历性理论, 得出了系统存在平稳分布且具有遍历性. 最后利用数值模拟验证了所得理论结果的正确性, 随机噪声对传染病的传播有很大的影响, 较大的噪声有利于控制传染病的爆发和传播.

主要考虑具有可乘白噪声和拟周期外力项的Boussinesq格点系统的随机一致指数吸引子的存在性. 首先, 利用Ornstein-Uhlenbeck过程将具有白噪声项的随机Boussinesq 格点系统(SDE)转化为无白噪声项的随机Boussinesq格点系统(RDE). 接着, 证明RDE系统的解可定义联合连续的随机动力系统.然后, 证明此系统存在一致吸收集并构造一个缓增有界闭的随机吸收集, 验证系统在此吸收集上的Lipschitz连续性和随机挤压性,这可以通过估计解的“尾部”和对系统的两解之差做适当的分解来解决. 最后,根据联合连续随机动力系统的随机一致指数吸引子存在的判据, 得到本文所考虑的系统的随机一致指数吸引子的存在性.

本文研究了一个新的具有双哈密顿结构的修正CH-KP方程. 通过对解的形式做适当的拟设, 导出了该方程的尖峰孤子解, 双尖峰孤子解, 以及周期尖峰孤子解, 并得到了一种新的不会在1+1维情形下存在的双尖峰孤子解.

该文研究了一类具有空间异质性HIV潜伏感染的非局部扩散动力学模型. 克服了非局部算子引起的非紧性困难并利用更新方程得到了下一代再生算子$\mathcal{R}$的泛函表达式, 进而得到模型基本再生数$R_0$, 即下一代再生算子$\mathcal{R}$的谱半径. 然后对系统进行阈值动力学分析. 具体地, 通过构造合适的Lyapunov泛函证明了当$R_0<1$时, 未感染平衡态是全局渐近稳定的; 利用点耗散系统的一致持久性理论证明了当$R_0>1$时, 系统是一致持久的并且系统至少存在一个正平衡态.

本文在统计学习理论框架下, 研究了最大相关熵回归模型在带有混合对称三角噪声下的学习速率, 有限样本下的估计效果和稳健性, 以及对真实数据的估计.结果显示最大相关熵回归模型具备渐近最优的收敛速率, 在有限样本下有着良好的估计效果, 并且具有比Huber和最小二乘回归更优良的稳健性.

在统计推断里, 参数估计的好坏很大程度上依赖于抽样设计, 所以有效的抽样设计将是一项重要的研究课题. 本文分别在排序集抽样(RSS), 非均等最大值排序集抽样(MaxRSSU)和非均等最小值排序集抽样(MinRSSU)下研究了Topp-Leone分布中参数的极大似然估计(MLE)及其性质. 上述MLE渐近效率的理论结果表明MaxRSSU估计和简单随机抽样估计一样有效, RSS估计和MinRSSU估计都比简单随机抽样估计有效.

本文主要研究了带有状态时滞的二维梁方程全局吸引子和广义指数吸引子的存在性, 通过运用Banach不动点定理与算子半群理论证明了具有状态时滞的二维梁方程的温和解的存在唯一性和对初值的连续依赖性, 并结合拟稳定性获得了具有有限分形维数全局吸引子和广义指数吸引子的存在性.

疟疾是一种由病原体引起的媒介传播疾病. 为了研究空间异质性、媒介偏倚效应和季节性对疾病传播的多重影响,本文提出一个疟疾传播的时间周期反应扩散模型.首先引入该模型的基本再生数$R_{0}$,然后证明如果$R_{0}\leq1$, 则无病周期解是全局渐近稳定的,而如果$R_{0}>1$, 则系统存在全局渐近稳定的正周期解.这些证明运用了单调动力系统定理、周期半流和链传递集理论.数值上研究莫桑比克马普托省的疟疾传播, 验证理论分析结果, 讨论模型中关键参数的影响,并得出忽略人群和蚊子的扩散和媒介偏倚效应会低估疾病传播的风险.外还从数量和分布两个方面分析了医疗资源对疾病传播的影响, 并且得到, 增加医疗资源会降低疾病传播风险, 如果医疗资源是固定的, 那么减少医疗资源分布的差异性会降低疾病传播的风险.

针对对流扩散反应(Advection-Diffusion-Reaction, ADR)方程数值解的多参数不确定性量化问题，本文提出了一类基于数据驱动低分辨模型的多分辨蒙特卡罗(Multi-fidelity Monte Carlo, MFMC)估计方法. 该方法将有限元法得到的数值解作为高分辨模型, 并通过离散线性方程的POD降维方法与参数空间DEIM插值方法, 分别得到DEIM和POD-DEIM的两类低分辨模型; 最后通过数值实验对方程中多参数不确定度量的均值和敏感性进行分析, 结果表明, 基于数据驱动低分辨模型的MFMC 估计方法, 与标准蒙特卡罗方法(Monte Carlo, MC)相比, 有效地降低了计算成本, 减小了相对均方误差.

本文研究了一类二阶有理差分方程的分岔与混沌问题. 通过线性稳定性分析, 得到了不动点存在和稳定的参数条件, 并利用中心流形定理、规范型定理和分岔理论, 给出了发生鞍结分岔、跨临界分岔、倍周期分岔和Neimark-Sacker分岔时的临界参数值. 为了进一步识别不同情况之间的混沌行为, 我们计算了最大李雅普诺夫指数和分形维数. 通过数值模拟, 说明了本文所得到的结果. 从模拟中, 我们可以看到一些复杂的动力学行为, 如周期倍增级联、周期窗口、极限环、混沌行为等, 有趣的是, 该系统的动力学行为随着分岔参数的选择将呈现一定的对称性.

在一般无界区域上, 研究三维不可压缩黏性磁流体方程组的初边值问题的大时间渐近行为. 利用算子磨光理论, 首先建立近似解; 其次, 运用谱分析方法、解析半群理论, 对方程组中的非线性项建立了一个新的统一估计, 结合能量估计方法和弱收敛理论, 最终证明了整体弱解的存在性, 给出了大时间衰减速率, 并且揭示了弱解的代数衰减性质是由其内含的线性部分 (即 Stokes方程的半群解)主导.

本文建立了$p$-阶弱单调条件下$G$-Brown运动驱动的倒向随机微分方程解的存在唯一性定理和比较定理, 其中 $p>1$,方程的生成元$f$和$g$关于$y$满足$p$-阶弱单调条件, 关于$z$ 满足Lipschitz条件, 终端条件$\xi$满足$p'$-阶可积条件,$p'>p$.

在金融数据分析中, 数据通常具有波动率集聚、异方差和非对称的特性, 需要运用偏态分布下的条件异方差模型进行刻画. 本文研究偏正态分布下GARCH模型的贝叶斯统计诊断问题.首先使用格子-吉布斯算法对偏正态分布下的GARCH模型的参数进行估计, 其次在先验、数据以及模型三种扰动情况下, 分别使用贝叶斯因子、$\phi$散度以及后验均值为目标函数, 运用局部影响分析方法进行统计诊断.数值模拟检验了该方法的有效性, 实证部分对雪佛龙股票的周对数收益率进行偏正态分布下的GARCH建模, 验证了贝叶斯局部影响分析方法的优越性.

本文研究了部分观察下不同市场结构与不同风险偏好代理人的内部交易模型. 利用条件期望、博弈理论和投影定理等相关知识, 给出了风险市场的均衡特征, 并解释了均衡条件下的相关经济意义. 影响本文市场均衡的因素有三类, 做市商对风险资产的观察精度、内部交易者的风险偏好程度和风险市场的不同结构. 研究表明：(1) 当做市商对风险资产部分观察精度较高时, 市场基本是强有效的；反之, 则对市场公平性起反作用, 甚至会使得内部交易者释放较低的私人信息也能获取较高的期望利润. (2) 在古诺博弈条件下, 风险厌恶型内部交易者是保守交易者, 因此释放信息速度会比较慢. 在主从博弈条件下, 主导者的投资会比较保守, 而跟随者却较为激进. 总之, 古诺博弈有利于风险中性投资者, 而主从博弈却有利于跟随者. (3) 当内部交易者采用常数策略投资时, 随着做市商对风险资产观察精度的降低, 虽然市场流动性和内部交易者剩余信息均会增加, 但是风险资产观察价格压力却缓慢减少.

在本文中, 我们将运用变分法研究如下非齐次非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性$$\begin{cases}i\partial_t\psi+\Delta \psi+|\psi|^{p}\psi+|x|^{-b}|\psi|^q\psi=0, &\quad (t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N, \\\psi(0,x) = \psi_0 (x), &\quad x\in\mathbb{R}^N,\end{cases}$$其中$N\geq3$,$\psi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$,$\frac{4-2b}{N}<q<\frac{4-2b}{N-2}$,$0<b<2$. 当$0<p<\frac{4}{N}$时, 该方程对应的能量泛函具有局部极小结构. 因此, 我们引入一个局部极小化问题, 通过研究该极小化问题极小化序列的紧性, 证明了该极小化问题极小化子的存在性, 最终获得了极小化子的集合是轨道稳定的.

本文考虑Dirichlet边界条件的一维薛定谔方程, 其中, Neumann控制含有界扰动.一方面, 我们设计滑模控制器并分析了闭环系统的稳定性.首先, 利用可逆变换对原系统进行变换, 证明了系统的适定性. 其次, 设计滑模面, 证明了滑模面上系统的指数稳定性. 再次, 构造滑模控制器, 证明系统在有限时间内可达滑模面, 进而证明了闭环系统的稳定性. 另一方面, 我们构造高增益预估器, 设计自抗扰控制器, 并分析了闭环系统的稳定性.最后, 对施加滑模控制和自抗扰控制的闭环系统状态分别进行数值模拟, 说明了两种控制器的稳定效果.

我们研究了关于Bowen距离$d_{n}$有有界复杂性的动力系统，证明了任意一个可数群$G$作用下的拓扑动力系统$G\curvearrowright X$是等度连续的当且仅当$X$关于$\{d_{n}\}_{n=1}^{\infty}$有有界拓扑复杂性，同时证明了对于任意一个可数群$G$作用下的拓扑动力系统$G\curvearrowright X$以及$X$上的一个Borel概率测度$\mu$，$\mu$ 关于$\{d_{n}\}_{n=1}^{\infty}$有有界测度复杂性当且仅当$G\curvearrowright X$是$\mu$-等度连续的，推广了Huang, Li, Thouvenot, Xu和Ye的结果.

本文研究了时滞微分方程$$f(z+1)-f(z-1)+a(z)\cfrac{f'(z)}{f(z)}=b(z)$$的有限级亚纯解$f(z)$ 与亚纯函数$g(z)$ CM 分担$0,1,\infty$ 时的唯一性问题, 其中$a(z), b(z)$ 都是非零有理函数, 则或者$f(z)\equiv g(z)$或者$f(z)=Ce^{ik\pi z}$ 且$f(z)g(z)\equiv1,$ 其中$C$ 是不为零的常数,$k$ 是不为零的整数.