由微分方程和变分不等式构成的微分变分不等式是非线性分析及其应用领域中的一类非常重要的问题，吸引了不少学者的极大关注和探索.本文研究一类具有非凸约束的微分变分不等式新问题的解的存在性.该类问题中的变分不等式的约束集是关于某一球的星形集，使得可以利用距离函数的广义Clarke次微分的不连续性质.我们通过多值伪单调算子的满射定理，H-半变分不等式逼近和参数不需要趋于零的罚方法证明解的存在性，并举例说明主要结果在具有非凸约束的抛物型初值问题中的应用.

研究了时标上一类具有正负系数和阻尼项及非线性中立项的三阶动力方程的振动性，运用Riccati变换技术，结合大量不等式技巧，得到了该方程的几个新的振动准则，这些准则推广和改进了一些已知的结果，最后以具体例子来说明了本文的结论.

薄板样条（TPS）函数是一个很好的形变分析工具，常用于图像配准，传统的薄板样条函数只是利用特征点的坐标信息，而现实中很多特征点都带有方向信息，比如指纹细节点和sift特征点.为了在薄板样条函数中利用方向信息，本文在传统薄板样条目标函数基础上增加了方向平行惩罚项及方向一致性惩罚项，根据变分法的结论，目标函数的求解转换为求解一个微分方程，用格林函数法求解这个微分方程，从而得到带方向信息的薄板样条函数新形式.本文得到的薄板样条函数适合于任意维度的点集，在指纹图像配准和人造点集插值上的实验表明，和传统薄板样条函数相比，本文提出的薄板样条函数对于带方向信息的图像配准和点集插值更加准确.

本文主要研究分组数据分位数回归模型的变量选择和估计问题.为了充分反映数据的分组信息，需要假定每组数据的回归系数可以分解成共性部分和分组后的个性部分.为了进行变量筛选，本文提出分解系数的Lasso估计，并进一步提出了自适应Lasso估计.在处理相应优化问题时，采用了变换观测矩阵的方法简化问题求解.本文给出了自适应Lasso估计的Oracle性质证明，并且通过数值模拟研究展示了所提方法的有限样本表现.最后，将此方法应用到乳腺浸润癌致病基因的变量筛选上来展示所提方法的实际应用表现.

随机总体分位数的统计推断理论与方法一直是统计学研究的重要课题.其主要原因是分位数的应用涉及众多领域，且在各领域的研究中起到举足轻重的作用.本文系统地论述了基于样本次序统计量的总体分位数的非参数统计推断的理论和方法；给出了基于样本次序统计量的总体分位数的估计方法，总体两个分位数之差的置信区间，总体容许区间的求解方法及符号检验.希望有助于读者的科研与应用.

随着COVID-19无症状感染者传播风险以及境外输入病例的增加，给我国“外防输入，内防反弹”的防控策略带来巨大压力.本文通过构建能够刻画无症状感染者传播和输入病例对疫情演化影响的离散随机COVID-19传染病动力学模型，创新地量化疫情再次暴发的风险指数，探究不同输入比例、不同的防控措施（接触数）下疫情再次暴发的风险.论文选取北京、上海和深圳三个地区的本地病例与输入病例等疫情数据，发展数据不确定性参数估计方法，辨识系统的未知参数.研究结果显示：深圳市发生二次暴发的风险要远低于北京和上海，北京的二次暴发的风险高于上海.特别地，以北京境外输入为例，我们得到当持续保持最严格的防疫措施，即接触数保持最小值时（接触数为1.07），无论境外输入病例未被隔离的比例有多大（实际输入病例的隔离率），均没有二次暴发的风险.如果防控措施适当放松，即接触数从最小值逐渐增大（接触数在三周时间增为3.1），则输入病例越多，二次暴发的概率越大.值得注意的是，当防控措施进一步放松（接触数在三周时间增为6.27），尽管输入病例完全隔离，发生二次暴发的概率可达到58.3%.考虑无症状感染输入的影响，我们得到了类似的结论.因此，在持续保持相对严格的防控措施，如保持社交距离、戴口罩等自我防护的同时，加强对入境人员的管理以及无症状感染者的筛查是防止发生二次暴发的关键，这为复杂疫情的防控和二次暴发的预测预警及风险评估提供了重要的定性、定量决策依据.

本文研究一类含有p-Laplacian算子的二阶脉冲微分方程边值问题解的存在性和多重性.当脉冲函数满足超线性增长条件时，我们通过变分法证明该问题至少存在一个古典解和无穷多个古典解.

本文研究基于非局部边界附加条件下，一类变系数抛物型方程的Robin系数确定问题，这里的Robin系数仅与时间相关.首先给出了变分公式，并利用变分公式证明了解的唯一性，其次给出了时间离散模型，基于线性离散化的变分形式，导出了一系列先验估计，证明了弱解的存在性，并对其进行了误差分析.

本文研究针对面板数据的半参数变系数可加模型的估计和推断问题，该模型将因变量与自变量之间的关系建模成未知函数的形式，并且假设它们之间的关系是随时间变化的.本文基于B样条方法估计未知的参数和函数.本文在允许（N，T）→∞的情况下建立各个估计量的渐近性质.通过大量的模拟评估所提出的估计方法的表现.最后，本文将所推荐的模型用于调查Fama-French三因子的时变行为.

针对部分线性变系数模型的参数估计问题，提出了一种新复合分位数回归估计方法.利用复合分位数回归法估计参数部分，局部非线性复合分位数回归法估计变系数函数部分，并在若干正则条件下，证明了常系数和变系数函数估计量具有较好的渐近正态性质.通过随机模拟和实例分析，验证了所提估计方法在有限样本下的良好表现，有效的证明了所提方法的优越性.

本文主要研究相场模拟中的Allen-Cahn模型，考虑二维非线性Allen-Cahn方程，建立Crank-Nicolson差分格式，并给出截断误差.运用Browder定理，证明差分格式数值解的存在性.同时，利用截断函数法证明了差分格式在无穷范数下二阶无条件收敛.最后，对离散最大值原理进行研究说明，给出数值算例.

本文研究一类具有年龄结构的Lotka-Volterra三种群竞争合作系统行波解存在性和稳定性.在拟单调情形下，利用解析半群和微分方程理论建立系统初值问题解R存在性及比较原理.然后，用加权能量法、比较原理等理论建立起该系统在初始扰动时除去x→-∞行波解指数衰减，证明单稳大波速行波解全局指数稳定.结果表明：行波解通常决定着初值问题解的长时间渐进行为，其稳定性揭示了种群之间竞争合作的现象，且结果能够被清晰的观测而不受外界因素干扰.

本文研究了如下带有非紧条件的拟线性Schrödinger-Poisson系统

其中κ<0，λ>0，p≥12，f∈C （R，R）， V∈C （R³，R）.文中首先构造截断函数，利用集中紧性原理和逼近的方法，得到了截断后系统非平凡解的存在性；然后利用Moser迭代技巧，讨论上述系统非平凡解的存在性.

本杠杆效应反映了股票收益率与其波动率变动之间的负相关关系，它一直是金融研究的核心问题.在高频时间序列数据中，传统的简单相关系数估计是不相合的，为此一些学者给出了新的杠杆效应刻画——积分杠杆效应，并给出该杠杆效应的估计量.众所周知，高频数据易受市场微观结构噪音的干扰，其中舍入误差是非常重要、实际中普遍存在的一类.高频数据被舍入误差噪音污染后，本文研究上述学者提出的杠杆效应估计量的稳健性，获得杠杆效应估计的相合性及渐近正态性，并用随机模拟对结果进行了验证.

单指标面板模型已广泛应用于各学科领域的研究中，其估计方法较为丰富，然而鲜有估计方法将个体内的相关性考虑在内.基于此，本文研究了一类个体内存在相关性的固定效应部分线性单指标面板模型，采用惩罚二次推断函数法和LSDV法相结合的方法对模型进行估计，证明了所得估计量的一致性和渐近正态性.Monte Carlo模拟结果显示其具有优良的有限样本表现，并将该估计技术应用于实际数据分析中.