本文针对目标函数可分离的低Tucker秩张量补全问题的核范数模型, 提出了一种新的随机算法. 在新算法中, 每一步的迭代随机地选取张量的一种模展开进行补全, 从而有效地减少了张量的全部模展开补全带来的巨大计算量, 大大提高了计算效率. 随后, 在一定的假设条件下, 证明了新算法的收敛性. 最后, 通过随机张量补全与图像修复的数值试验表明新算法的有效性.

为避免弹性网在分组效应上的不足, 文章通过改进广义岭惩罚, 提出了一种依据变量间的相关性赋予参数相同的Lasso惩罚和不同的岭惩罚, 且还能解决弹性网未利用变量的外在信息去估计参数不足的正则化法, 即自适应岭网. 同时, 基于Logistic回归的参数估计问题, 给出了自适应岭网的数值解, 以及诸如贝叶斯先验, 大样本性质和非分组效应的特性. 模拟和实例研究表明, 所提估计方法的性能高于或等同于弹性网及其现有的一些改进法, 是一种高效的正则化法.

低秩矩阵补全问题作为一类在机器学习和图像处理等信息科学领域中都十分重要的问题已被广泛研究. 一阶原始-对偶算法是求解该问题的经典算法之一. 然而实际应用中处理的数据往往是大规模的. 针对大规模矩阵补全问题, 本文在原始-对偶算法的框架下, 应用变步长校正技术, 提出了一种改进的求解矩阵补全问题的原始-对偶算法. 该算法在每一步迭代过程中, 首先利用原始-对偶算法对原始变量和对偶变量进行更新, 然后采用变步长校正技术对这两块变量进行进一步的校正更新. 在一定的假设条件下, 证明了新算法的全局收敛性. 最后通过求解随机低秩矩阵补全问题及图像修复的实例验证新算法的有效性.

针对疟疾疫苗在疟疾传播方面的实际问题,构建了一个具有疫苗接种和失效的疟疾传播动力学模型, 并计算了该模型的控制再生数$\mathcal{R}_{c}$.给出了该模型的无疟疾平衡点和疟疾平衡点关于$\mathcal{R}_{c}$的存在性条件.利用Lyapunov函数法结合广义的Lyapunov-LaSalle定理, 建立了无疟疾平衡点和疟疾平衡点关于$\mathcal{R}_{c}$的全局渐近稳定的充分必要条件.

该文将研究以下具有变号系数和奇异非线性项的 $(p,q)$-Laplace 方程组\begin{align*}\left\{\begin{array}{l} -\Delta_{p}u-\Delta_{q}u=g(x)u^{-\gamma}+\frac{2\alpha}{\alpha+\beta}h(x)u^{\alpha-1}v^{\beta},\ \ \ \ x\in \Omega, \cr -\Delta_{p}v-\Delta_{q}v=f(x)v^{-\gamma}+\frac{2\beta}{\alpha+\beta}h(x)u^{\alpha}v^{\beta-1},\ \ \ \ x\in \Omega, \cr u,v>0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\in \Omega, \cr u=v=0, \ \ \ \ \ \ \ x\in \partial\Omega, \end{array}\right.\end{align*}其中 $\gamma\in(0,1)$, $\alpha, \beta>1$, 1<q<p<α+β<p^*=Np/N-p, $f, g\in L^{\frac{p^{\ast}}{p^{\ast}+\gamma-1}}(\Omega)$均为非负函数,$h\in L^{\frac{p^{\ast}}{p^{\ast}-\alpha-\beta}}(\Omega)$且$\{x\in \Omega:h(x)>0\}$具有正测度.借助于Ekeland变分原理和一些分析技巧, 建立了上述问题的多重解的存在性定理. 当加权函数满足一定的限制条件时, 获得了基态解的存在性.

本文讨论了多种类型时滞系统的迭代学习控制问题. 针对状态时滞和输入时滞系统分别建立相应的2-D Roesser模型, 并通过Roesser模型进行收敛性分析. 分析表明, 两类系统是否稳定与控制律中引入的伪偏导项无关. 伪偏导项虽然不能决定系统是否收敛, 但能够影响系统的收敛速度. 而且该设计思想不仅对连续时滞系统有效, 对于离散时滞系统依然有效. 最后的仿真算例验证了算法的有效性.

本文在三维Minkowski空间中, 研究了基于Killing向量场的磁力曲线. 首先给出了三维Minkowski空间中对应于平移和旋转的所有Killing向量场,并对不同的Killing向量所对应的磁力曲线进行了分类, 最后给出了一些磁力曲线的图像.

本文研究具有恐惧效应的扩散捕食-食饵系统的动力学行为. 对于局部系统, 首先证明对于任意给定的非负初始值, 系统的解是非负且有界的, 其次讨论系统非负平衡点的存在性和局部稳定性, 通过构建 Dulac 函数得到正平衡点全局渐近稳定的条件; 对于反应扩散系统, 研究 Hopf 分支和图灵分支的存在性; 在 Hopf 分支存在的情况下, 利用中心流形定理和规范型理论得到 Hopf 分支的稳定性和方向. 最后通过数值模拟验证理论结果的正确性, 展示系统具有丰富的动力学行为.

本文首先介绍了一些基本的定义和事实, 它们将用于证明我们的主要结果. 其次, 我们给出了Hilbert 张量算子$\mathcal{H}$的定义, 并借助Song和Qi文章中的证明技巧, 给出了一些引理, 这些引理表明Hilbert张量算子$\mathcal{H}$是良性定义的. 此外, 本文引入了Song和Qi给出的Hilbert张量算子的积分形式. 随后, 本文刻画了$m$阶无穷维Hilbert张量(超矩阵, 即Hilbert张量算子), 从加权Bergman空间$A_{\alpha}^{p(m-1)}\;\big(\alpha>-1,\alpha+2<p<+\infty\big)$到$A_{\beta}^{q}\; \big(\beta>-1,0<q<\beta+1\big)$的有界性及$\big(m-1\big)$阶齐次性；$T_{\mathcal{H}},F_{\mathcal{H}}$是由Hilbert张量算子$\mathcal{H}$诱导出的正齐次算子, 借助Hilbert张量算子$\mathcal{H}$ 在加权Bergman空间上的有界性及齐次性, 文章证明了$T_{\mathcal{H}}$从加权Bergman空间$A_{\alpha}^{p(m-1)}\;\big(\alpha>-1,\alpha+2<p<+\infty\big)$到 $A_{\beta}^{q}\;\big(\beta>-1,0<q<\beta+1\big)$的有界性及正齐次性,$F_{\mathcal{H}}$从加权Bergman空间$A_{\alpha}^{p}\;\big(\alpha>-1,\alpha+2<p<+\infty\big)$ 到$A_{\beta}^{q}\;\big(\beta>-1,0<q<(\beta+1)(m-1)\big)$的有界性及正齐次性.

在统计推断里, 参数估计的好坏很大程度上依赖于抽样设计, 所以有效的抽样设计将是一项重要的研究课题. 本文分别在简单随机抽样(SRS)和动态极值排序集抽样(MERSS)下研究了Inverse Rayleigh分布中参数的一些优良估计. 数值结果显示MERSS估计比SRS估计更有效.

针对函数型数据与空间数据嵌套融合的统计建模问题, 提出了广义函数型部分空间变系数模型(GFPSVCMs), 利用函数型主成分基函数和基于三角剖分的二元惩罚样条逼近该模型中的斜率函数和二元系数函数, 采用最大化惩罚拟似然的方法实现模型参数估计, 并给出了一种带惩罚的迭代重加权最小二乘迭代算法(GFPSVCMs-PIRLS)进行参数求解. 数值模拟表明所提出的模型在不同设定下的表现出了良好的性能. 实证分析部分, 利用我国13个省份包含151个地市州的空气质量和日均气温数据分析了空气质量的影响因素, 评估了所提出模型在空气质量研究领域中的应用价值和预测性能.

考虑到金融收益数据的厚尾性, 基于椭球分布的投资组合构建问题引起了学者的关注与讨论. 本文考虑了高维资产收益具有潜在椭球因子模型结构的情形, 并在二阶矩存在的条件下证明了椭球分布下均值-方差模型和无约束回归的等价性, 该定理推广了椭球分布族均值-方差投资组合问题的等价无约束回归表示. 最终, 本文借助 $\ell$₁ 范数惩罚得到稀疏的最优投资组合. 模拟结果表明, 当收益存在厚尾性时, 本文所提方法仍然能够在控制风险的基础上极大化预期收益, 且表现优于现有的均值-方差类模型. 最后, 本文将所提方法应用到金融资产收益的数据集上进行实证, 所提方法在控制风险的基础上能够获得较高的收益, 进而验证了其优良表现.

本文研究一类非一致椭圆方程弱解梯度的全局BMO估计, 利用扰动讨论和极大函数等方法, 获得了一类非一致椭圆方程在全空间上的全局BMO估计.

本文考虑了区间$[a,b]$两端四个边界条件都含有特征函数的四阶微分算子特征值的依赖性问题, 证明了特征值不仅连续依赖而且可微依赖于问题的各个参数(系数函数, 权函数, 区间端点, 边界条件系数矩阵), 并且给出了相应的微分表达式. 特别地, 给出特征值关于特征参数依赖的边界条件系数矩阵的Frechet导数.

为研究蚊子感染后的周期潜伏期和人的扩散对疟疾传播的影响, 本文建立了一个具有周期时滞的部分退化的反应扩散方程模型. 鉴于模型仅考虑人的扩散而忽略蚊子的扩散, 故其解映射缺乏紧性, 这给我们的分析带来了一些困难. 通过证明 Poincaré 映射是 α-contracting, 点耗散以及有界集的正半轨道是有界的, 获得了全局吸引子的存在性. 进而, 利用持续性理论给出了模型关于基本再生数 $\mathcal{R}$₀ 的阈值动力学, 即当 $\mathcal{R}$₀<1 时, 疾病最终灭绝; 而当 $\mathcal{R}$₀>1 时, 疾病会一直持续下去. 数值上探讨了异质性, 季节性和扩散对 $\mathcal{R}$₀ 的影响, 并表明忽略潜伏期的周期变化可能会低估疾病发生的风险.

通过引入阈值控制策略, 本文研究了一类分段光滑 SIQR 传染病模型的全局动力学. 利用 Filippov 理论、非光滑 Lyapunov 函数、广义链式法则和 Poincaré 映射等方法, 讨论了无病平衡点、地方病平衡点和伪平衡点的全局渐近稳定性. 特别地, 得到了感染者数量全局有限时间收敛性结果, 揭示了不连续动力系统的本质特征. 借助数值仿真方法, 阐述了所获理论结果的生物学意义, 并为传染病的防控提供理论依据.

本文研究了函数型部分线性乘积模型, 该模型可用于响应变量为正数的函数型数据的统计建模问题, 经过对数变换后模型转化为函数型部分线性模型. 基于B-样条, 通过极小化最小一乘相对误差(LARE)和最小乘积相对误差(LPRE), 分别给出模型的LARE估计和LPRE估计, 其中B-样条基的维数利用Schwarz信息准则选取. 对两种估计方法分别给出斜率函数估计的相合性和参数部分估计的渐近正态性, 并且证明了斜率函数的收敛率达到了非参数函数估计的最优速率. 蒙特卡洛模拟用来比较所提出的方法与最小一乘(LAD)估计和最小二乘(LS)估计在不同误差分布下的有限样本性质, 模拟结果表明所提方法是有效和实用的. 最后通过一个实际数据分析的例子来说明模型的应用.

丙型病毒性肝炎(简称丙型肝炎或丙肝)是一种由丙型肝炎病毒(HCV)感染引起的病毒性肝炎, 可导致肝脏慢性炎症坏死和纤维化, 部分患者可发展为肝硬化甚至肝细胞癌(HCC). 本文利用丙型肝炎数据建立惩罚三项logit模型诊断患者的疾病分期: 首先选取患者的12项生理指标作为预测向量, 丙型肝炎的三种疾病分期作为响应变量; 接着利用70%的数据作为训练集学习LASSO/Ridge/ENet惩罚三项logit模型, 得到模型的参数估计和概率估计; 再利用30%的数据作为测试集, 结合三类混淆矩阵, ROC(receiver operating characteristic) 曲面, HUM(hypervolume under the ROC manifold), PDI(polytomous discrimination index)和Kappa(Cohen's kappa coefficient)等评估疾病分期的预测精度; 最后引入人工神经网络(ANN), 支持向量机(SVM)和随机森林(RF)等机器学习方法和惩罚三项logit模型进行比较, 发现惩罚三项logit模型的三类分类预测表现最好, 不仅能够进一步提高疾病分期的诊断精度, 而且可以降低丙型肝炎的检测成本.

本文针对具有年龄结构的随机合作 Lotka-Volterra 模型, 在考虑到该模型生物学背景的前提下, 为了避免对模型进行数值离散过程中数值解爆破现象的出现, 本文首先在 Euler-Maruyama (EM) 算法的基础上, 构造了带有部分截取的 Euler-Maruyama 数值算法. 其次, 证明了该算法的有界性, 得到算法有界的充分条件. 最后, 对该算法进行数值模拟, 并将其结果与 EM 算法进行比较, 对比的结果与本文理论证明的结论相一致, 为后续研究该算法的收敛性做准备.

修正晶体相场模型是一类六阶非线性广义阻尼波动方程. 首先, 基于Crank-Nicolson格式, 利用降阶方法对方程建立线性化隐式差分格式. 非线性项通过二阶外推方法进行处理. 其次,利用能量分析方法和数学归纳法, 对差分格式进行理论分析, 证明差分格式的唯一可解性及$L^{\infty}$范数下的收敛性.收敛阶在时空方向均为二阶.最后, 数值算例表明差分格式的有效性及数值收敛阶在$L^{\infty}$范数下达到二阶.

本文关注带正同态算子的脉冲分数阶微分方程积分边值问题正解的多重性问题. 利用经典的Guo-Krasnosel'skii 不动点定理,给出了脉冲分数阶微分方程至少存在两个正解的充分条件. 最后, 用实例验证了理论结果的有效性.

自然界中很多生物的生长过程在数学中可以理解为曲面的增长, 即质量在物体表面的沉积, 如贝壳、鹿角等. 为了探索生物体表面生长过程的多样性, 本文在Minkowski 空间中定义并研究由伪零曲线作为生成曲线, 并按照给定的生长速度及其方向演化而生成的伪零增长曲面. 利用伪零曲线的结构函数探索伪零增长曲面的几何结构, 并考虑由伪零螺线生成的增长曲面的几何结构表达式, 同时辅以典型的例子来明确地刻画此类增长曲面的生成过程.

分数阶微分方程作为整数阶微分方程的推广, 近年来被广泛应用于科学和工程领域, 从而受到越来越多学者的关注. 本文提出一种新型Crank-Nicolson有限体积方法求解具有Dirichlet齐次边界的Riesz空间分数阶对流-扩散方程. 为了得到Riesz空间分数阶对流-扩散方程的离散格式, 在时间层上, 利用Crank-Nicolson方法对一阶时间偏导数进行离散. 在空间层上, 利用有限体积法近似对流项的一阶空间偏导数和扩散项的Riesz空间分数阶偏导数. 更进一步, 我们也得到了该Crank-Nicolson有限体积离散格式的稳定性和收敛性两个主要理论结果. 证明了该离散格式是无条件稳定的, 以及在离散$L_2$-范数下的收敛阶为${\mathcal O}(h^2+\tau^2)$, 其中$h$和$\tau$分别为空间和时间上的步长. 最后, 通过数值试验验证了该离散格式理论结果的正确性.

作为金融市场体系的重要组成部分, 选择最优的投资和再保险策略对保险公司来说十分重要. 本文研究了保险公司在均值-方差准则下的最优投资和再保险问题, 假设保险公司通过购买比例再保险来分散自身风险, 其盈余过程由近似经典Cramér-Lundberg模型的扩散过程刻画, 此外, 保险公司通过投资于无风险资产和风险资产来增加收入, 其中风险资产价格服从Volterra Heston模型. 由于Volterra Heston模型的非马尔可夫性和非半鞅性, 经典的随机最优控制框架不再适用, 本文通过构造一个辅助随机过程, 得到了依赖于Riccati-Volterra方程解的最优投资和再保险策略及有效前沿, 并对最优策略、有效前沿和波动率粗糙度、再保险因素之间的关系进行了数值分析, 发现股票价格的波动率越粗糙, 保险公司对股票市场和再保险的需求越大.

本文研究了一类带有参数的非线性薛定谔泊松方程规范基态解的存在性. 当参数 μ<0 时, 通过分析 Pohozaev 流形的结构和泛函纤维映射的几何性质, 应用极小化序列方法和 Schwarz 径向重排技术得到方程有一个正的规范基态解. 当参数 μ>0 时, 通过构造辅助泛函并应用形变引理得到了 Pohozaev 流形附近的一个(PS)序列, 然后应用集中紧性原理和单调性方法得到方程规范基态解的存在性.

首先, 我们引入一类集值伪连续函数. 在此基础上, 我们给出集值伪连续函数的性质特征刻画.然后, 作为应用, 我们在具有集值伪连续支付函数的博弈问题中, 分别证明了非合作博弈均衡与合作博弈均衡的存在性. 最后给出一个具体算例, 验证了其可行性.

本文在Pan等工作的基础上, 提出了一种修正的对称正交分解方法(MSOA)来逼近实对称张量. 为讨论实对称张量的对称正交逼近,首先将其转化为具有等式约束的极小化问题来进行理论分析, 在算法中使用自适应带位移的乘幂法来求解特征向量, 同时给出了该算法的收敛性分析. 最后通过数值实验验证了对该算法所做的理论分析. 数值结果表明, 我们提出的算法是稳健和有效的.

网络数据中, 边的固定效应模型是基于网络节点的异质性来建立的, 忽略了节点之间的同质性. 而现有的考虑网络节点同质性的模型往往只能适用于满足模型条件的特定网络数据. 同时目前网络数据模型往往忽略了节点的特征对边的影响或者只考虑特征对边的线性影响. 本文将从数据本身出发来挖掘网络数据的同质性结构, 为此本文提出了适用于广义线性模型的同质追踪方法, 并通过非参数的形式将节点特征加入到模型中. 本文从理论上证明了模型的参数部分的相合性, 渐近正态性以及非参数部分的相合性. 在模拟实验中, 本文通过对比已有的方法, 体现了新方法的优势, 并数值验证了估计的理论性质. 本文也分析了新英格兰地区律师数据集和音乐社区数据集, 验证了模型的有效性.

本文首先研究了非传递效用模糊博弈中模糊核的连续性. 其次, 给出了模糊核的良定性定义. 进一步, 证明了具有非空模糊核的非传递效用模糊博弈是广义良定的. 最后, 经分析得到, 存在一个稠密剩余子集, 使得其中的非传递效用模糊博弈是鲁棒良定的.

许多领域都离不开试验, 例如在新产品的研发以及测试中都需要进行精心设计的科学试验. 当在试验中因子的水平改变非常困难时, 如何合理安排试验次序是一个非常重要的问题. 本文研究了具有最小和最大水平变化次数的试验次序的一些基本理论, 并针对完全因析设计、非正规部分因析设计和均匀设计等设计讨论了最优试验次序构造方法. 作为实际中广泛应用的一些设计, 利用本文的结果给出了其具有最小和最大水平变化次数的试验次序及相应的水平变化次数.

本文借助于Riemann-Hilbert (RH) 问题研究修正Korteweg-de Vries (mKdV)方程, 给出一种有效方法来获得快速衰减初值空间下的孤子解. 在正散射过程建立 Jost函数和散射矩阵重要性质来构建一个合适的RH问题, 进而建立mKdV方程的解和RH 问题解之间的关系. 在反问题过程中, 考虑了两类散射数据, 包括简单零点和二阶零点, 以及求解相应的RH问题, 成功构建在这两种情形下mKdV方程的显示解. 最后, 结合具体参数, 详细分析了几类孤子解的传播行为.

均匀设计以其稳健和使用方便、灵活的特性而广受欢迎. 为获得实验目标区域内散布均匀的设计点集, 不同的均匀度量标准相继被提出. 目前被广泛应用的有中心化$L_2$-偏差、可卷型$L_2$-偏差、混合偏差等. 对称化$L_2$-偏差具有更好的几何性质, 但受限于投影均匀性差的缺陷, 使用范围十分有限. 为了改进对称化$L_2$-偏差的低维投影均匀性, 基于指数加权方式的投影加权对称化$L_2$-偏差的概念被提出, 加权后的对称化$L_2$-偏差既能保留原偏差的各种优良性质, 同时有效克服原来的缺陷并有更优异的表现. 折叠翻转是构造因子设计时非常有用的技巧. 本文利用投影加权对称偏差来作为评价折叠翻转方案的最优性准则, 得到了两水平U-型设计在一般折叠翻转方案下扩大设计的投影加权对称偏差的下界, 该下界可以作为寻找最优折叠翻转方案的基准.

考虑了一类具有变系数耗散和导数型非线性项的广义Tricomi方程在次临界情况下解的爆破问题. 构造若干含时泛函，结合测试函数方法和贝塞尔方程，得到了含时泛函的迭代框架和第一下界. 然后通过迭代证明了其柯西问题解的爆破以及生命跨度的上界估计.

研究了在$\mathbb{R}^3$中有界区域内的多孔介质中相互作用的Brinkman-Forchheimer流体与Darcy流体方程组解的结构稳定性, 假设在$\Omega_1$中流体速度较慢, 满足Brinkman-Forchheimer方程组, 而在$\Omega_2$ 中, 饱和流体满足Darcy方程组. 借助于温度的四阶范数估计以及Sobolev不等式, 构造能量表达式, 推出该表达式所满足的微分不等式, 积分得到了相互作用Brinkman-Forchheimer与Darcy流体方程组的解对Brinkman系数的连续依赖性结果.

邻点可区别边染色是指图$ G $有一个正常边染色且任意两个相邻顶点的颜色集合不相等. 邻点可区别边色数是指使图$ G $ 有一个邻点可区别边染色的最小颜色数值, 记作$ \chi_{a}{'}(G) $. 本文证明了: 若图$ G $是围长至少为$ 6 $的正常平面图, 则有$ \chi_{a}{'}(G) \leq \max\{6, \Delta(G)+1\} $.

本文利用极值原理在Fréchet次微分下研究了非光滑多目标优化问题的最优性条件. 首先, 研究了非光滑半无限多目标优化问题的必要性条件. 随后, 建立了非光滑多目标优化问题Henig真有效解的必要条件.

考虑了通过半无穷柱体的Kelvin-Voigt流体, 其中Kelvin-Voigt流体在柱体的侧面上满足齐次边界条件. 利用能量估计和先验估计的方法, 证明了应变能随距柱体有限端的距离指数式衰减性质. 这种类型的结果可看作Saint-Venant原理型的"距离效应".

本文用混合有限元方法研究一般的非线性湿气迁移方程.利用双线性元,$Q_{11}$ ,和零阶,Raviart-Thomas 元, ($Q_{10}\times Q_{01}$) 证明方程的超收敛性. 利用这两个单元插值算子的性质和平均值技巧, 得到了方程半离散格式的, $O(h^2 )$, 阶超收敛结果. 对于方程线性化的, Crank-Nicolson,(C-N) 全离散格式,,得到了具有, $O(h^2+\tau^2)$, 阶的超收敛结果, 这里, $h$ 是空间剖分参数, $\tau$ 是时间步长.该方法说明如果线性化问题有超收敛性, 那么对应的非线性问题有同样的超收敛性.最后, 给出数值算例, 证实了理论分析的正确性和方法的有效性.

结合博弈论研究排队系统中顾客的策略行为成为当前排队论研究的一个热点. 本文研究了离散时间排队系统中风险敏感性顾客的策略行为. 不同于经典排队经济学的是, 本文的效用函数是期望-方差二次效用函数. 根据纳什均衡和马氏过程理论, 该文分别研究了在完全可视和完全不可视两种情况下Geo/Geo/1排队系统中风险敏感性顾客的博弈行为. 得到了风险敏感性顾客的个体最优策略、社会最优策略和服务商利润最优策略. 研究发现, 风险敏感系数越小, 顾客越喜欢冒险, 加入系统的意愿越强. 数值实验探索了风险敏感系数对顾客策略行为的影响.