为了解决矩阵自回归模型 (MAR) 最小二乘估计易受到异常值或厚尾分布误差影响而偏离真值的问题, 本文针对损失函数进行改进, 基于投影方法和迭代最小二乘法, 提出了求解MAR 模型稳健估计的RE-PROJ 和RE-ILS 方法. 两种方法均在构造估计量的过程中使用了M估计的思想, 模拟数据显示上述两种方法能够更好抵御异常值对参数估计的影响. 本文进一步讨论了MAR(p) 模型进行阶数选择的BIC 准则以及矩阵观测值存在相关性时带有减秩假定的稳健估计方法. 实际分析结果表明, 在异常值较多或尖峰厚尾的矩阵值观测数据中, 本文提出的稳健估计相较最小二乘估计, 在拟合和预测方面更具有优势.

基于金融市场高频价格数据, 我们提出其市场微观结构噪声的日历效应估计. 据我们所知, 本文首次建立了估计的相应渐近理论以及给出了相应的统计推断方法. 该理论有助于我们更加深刻地认识市场微观结构噪声的性质, 进而有助于我们更好地认识市场的运行机制和其价格发现功能.

本文说明了白噪声驱动的非自治随机时滞格点方程的 解 生成共环. 进行了一致估计，尾估计，并证明该系统存在拉回随机吸引子. 最后证明了时滞动力系统的随机吸引子当时滞和特定参数同时收敛时的二重上半连续性.

本文研究了一类二阶有理差分方程的分岔与混沌问题. 通过线性稳定性分析, 得到了不动点存在和稳定的参数条件, 并利用中心流形定理、规范型定理和分岔理论, 给出了发生鞍结分岔、跨临界分岔、倍周期分岔和Neimark-Sacker分岔时的临界参数值. 为了进一步识别不同情况之间的混沌行为, 我们计算了最大李雅普诺夫指数和分形维数. 通过数值模拟, 说明了本文所得到的结果. 从模拟中, 我们可以看到一些复杂的动力学行为, 如周期倍增级联、周期窗口、极限环、混沌行为等, 有趣的是, 该系统的动力学行为随着分岔参数的选择将呈现一定的对称性.

本文研究了集优化问题的适定性与解的稳定性.首次通过将原始集优化问题嵌入到一族具有相同结构的含参数扰动问题中,引入了集优化问题带扰动的广义$m_{1}$-适定性和$m_{1}$-良定概念,给出了两者之间的关系,并分别给出了带扰动的广义$m_{1}$-适定性充分、必要条件和系列特征.引入了集值映射两种新的单调性定义,并由此研究了含参集优化问题的$m_{1}$-有效解映射半连续性和闭性.

本文研究了一类具有阻尼项的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性问题, 通过利用广义的Riccati变换技术和一些特殊技巧, 在非正则条件下得到了该方程新的振动准则, 改进, 推广和统一了若干最近文献中的振动结果. 最后通过实例验证了本文结果的适用性.

研究一类带有乘性噪声的随机发展方程. 在获得随机发展方程的解收敛到Wong-Zakai逼近方程的解后, 使用指数鞅技术、Kallianpur-Striebel公式和Itô公式,证明随机发展方程及Wong-Zakai逼近方程在带有色噪声的观测系统中所产生的非线性滤波的收敛行为, 进一步得出具体收敛速率.

本文提出了一种基于$L_{2}$范数和Spearman相关性系数的检验高维时间序列的序列相关性和自回归条件异方差效应的假设检验方法. 本文研究了所提的统计量的渐近性质, 并提出了一种基于自助法的计算临界值的方法, 证明了所提假设检验方法可以控制第一类错误的概率. 我们的假设检验方法是维数自由的, 即对数据的维数没有要求, 从而可以用于高维时间序列的情况, 同时本方法对数据的尾部性质没有要求, 从而可以用于重尾的情况. 我们使用了数值模拟和实际数据来说明本文所提方法的有效性.

疟疾是一种由病原体引起的媒介传播疾病. 为了研究空间异质性、媒介偏倚效应和季节性对疾病传播的多重影响,本文提出一个疟疾传播的时间周期反应扩散模型.首先引入该模型的基本再生数$R_{0}$,然后证明如果$R_{0}\leq1$, 则无病周期解是全局渐近稳定的,而如果$R_{0}>1$, 则系统存在全局渐近稳定的正周期解.这些证明运用了单调动力系统定理、周期半流和链传递集理论.数值上研究莫桑比克马普托省的疟疾传播, 验证理论分析结果, 讨论模型中关键参数的影响,并得出忽略人群和蚊子的扩散和媒介偏倚效应会低估疾病传播的风险.外还从数量和分布两个方面分析了医疗资源对疾病传播的影响, 并且得到, 增加医疗资源会降低疾病传播风险, 如果医疗资源是固定的, 那么减少医疗资源分布的差异性会降低疾病传播的风险.

该文研究了一类具有饱和恢复率的非局部扩散SEIR时滞模型的行波解.首先,当R₀>1, c> $c^{*}$时,运用Schauder 不动点定理结合极限讨论的方法建立了行波解的存在性,通过构造Lyapunov泛函获得了行波解的渐近边界条件.其次,利用双边拉普拉斯变换证明当R₀>1,0<c<c^*或R₀<1时行波解的不存在性.最后,讨论了时滞、感染者的扩散系数分别对最小波速$c^{*}$的影响. 一般而言,潜伏期越长, 疾病的传播速度越慢.

本文扩展有限多个市场的网络寡头为具有无限多个市场的情形, 将构建具有连续分布市场的网络寡头模型.在完全非合作的假设下, 首先证明Cournot-Nash均衡的存在性. 进一步, 假定厂商集合存在一个联盟结构, 凭借定义联盟成本函数和联盟利润函数, 我们构建了一个基于联盟结构的非合作博弈, 并证明了此博弈中Nash均衡的存在性. 新的网络寡头模型和Nash均衡的存在性证明为本文的主要贡献.

在本文中, 我们研究一类带有恐惧效应时滞的捕食者-猎物系统的动力学. 首先我们讨论解的正定性, 有界性与持久性, 其次基于中心流形定理与正规形, 我们研究由恐惧效应时滞引起的Hopf分岔. 进一步, 我们讨论分岔周期解的全局存在性. 最后给出数值模拟以支持我们的结论.

本文在完全可见情形下对带有故障维修和工作休假的流体排队模型进行均衡策略研究, 其中缓冲器在忙期, 工作休假期和故障维修期三种状态之间交替运行. 运用更新过程理论和常微分方程组的标准型理论揭示了流体水平的纳什均衡行为规律和稳态概率分布, 进而利用经典的拉普拉斯变换导出稳态下缓冲器的平均流体水平. 基于经济学和效用原理构建线性社会收益函数, 通过数值分析找到全局最优止步阈值下社会福利的极值. 考虑以流体全局最优止步阈值和入场单价为联合决策变量构建入场费收益模型, 研究全局最优止步阈值对最大入场费收益的影响. 结合认知无线网络信息传输过程中的节点失效和节点半休眠的特点, 研究相应的参数优化策略和社会收益问题, 对于提升认知无线网络的安全传输性能至关重要, 仿真结果可为无线网络资源的优化配置提供理论支撑.

折现Hamilton-Jacobi方程作为接触Hamilton-Jacobi方程的一种特殊形式, 对其研究具有深刻意义。主要研究$\mathbb{T}^n$上时间周期折现Hamilton-Jacobi 方程$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$ 粘性解的收敛性。若$H$是Tonelli型哈密尔顿函数, 关于$t$ 1-周期, 在一定条件下, 该方程有唯一的1-周期粘性解$\bar{u}_\lambda(x, t)$, 本文验证了当$n \rightarrow \infty$时, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_\lambda(x, t+n)=\bar{u}_\lambda(x, t)$, 其中$u_\lambda(x, t+n)$是$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$的粘性解。最后以一个具体的时间周期折现Hamilton-Jacobi方程说明了本文的结论。

基于空间异质性, 无症状感染宿主和病原体传播途径的多样性, 提出一类具有无症状感染宿主和多种感染途径的反应扩散宿主- 病原体模型, 并利用半群理论, 讨论模型全局正解的存在性与唯一性. 进一步, 根据下一代算子的谱半径方法给出模型的基本再生数$\mathcal{R}_{0}$, 并用其刻画了疾病的灭绝性和持久性. 即, 如果$\mathcal{R}_0 < 1$, 无病稳态是全局渐近稳定的; 而如果$\mathcal{R}_0>1$, 疾病是一致持续的且模型至少有一个地方病平衡态. 此外, 通过构造合适的Lyapunov函数, 证明空间匀质环境下模型无病平衡态和地方病平衡态的全局渐近稳定性. 最后通过数值模拟解释主要的理论结果并探讨扩散速率对感染宿主分布的影响.

本文研究了一类平面凸曲线的全非线性曲率流的非坍塌性. 首先, 我们给出了曲线的内、外非坍塌性的定义, 并通过定义一个函数$Z$, 我们证明了曲线内非坍塌性与函数$Z$的非负性是等价的,外非坍塌性与函数$Z$的非正性是等价的. 之后，我们利用极值原理证明了在一定条件下平面凸曲线缩短流保持非坍塌性.

研究一类周期环境中基于个体年龄等级结构的种群系统的最优收获问题. 首先, 应用冻结系数法和不动点理论得到状态系统非负有界周期解的存在唯一性, 及共轭系统的适定性. 其次, 利用共轭系统和法锥技巧导出最优收获策略的结构, 运用Ekeland变分原理证明最优收获策略的存在唯一性. 最后, 通过数值模拟验证理论结果的有效性的同时发现系统的其他动力学性质. 本文的结果推广和改进了相关文献的部分结果.

本文研究了一个新的具有双哈密顿结构的修正CH-KP方程. 通过对解的形式做适当的拟设, 导出了该方程的尖峰孤子解, 双尖峰孤子解, 以及周期尖峰孤子解, 并得到了一种新的不会在1+1维情形下存在的双尖峰孤子解.

针对对流扩散反应(Advection-Diffusion-Reaction, ADR)方程数值解的多参数不确定性量化问题，本文提出了一类基于数据驱动低分辨模型的多分辨蒙特卡罗(Multi-fidelity Monte Carlo, MFMC)估计方法. 该方法将有限元法得到的数值解作为高分辨模型, 并通过离散线性方程的POD降维方法与参数空间DEIM插值方法, 分别得到DEIM和POD-DEIM的两类低分辨模型; 最后通过数值实验对方程中多参数不确定度量的均值和敏感性进行分析, 结果表明, 基于数据驱动低分辨模型的MFMC 估计方法, 与标准蒙特卡罗方法(Monte Carlo, MC)相比, 有效地降低了计算成本, 减小了相对均方误差.

该文主要研究一类具有变指数对数增长的椭圆方程边值问题, 通过比较估计并利用迭代覆盖等方法, 获得了该问题在非光滑区域上的全局Calderón-Zygmund估计, 其中算子$\mathbf{a}$满足某些合适的条件, 给定的向量值函数满足适当的增长条件.

本文主要研究粘性系数依赖于密度的一维等熵可压缩微极流模型解的时间衰减率问题. 对于参数$\alpha,\gamma\in\mathbb{R}$, 考虑压强$p(\rho)=\rho^\gamma$和粘性系数$\mu(\rho)=\rho^\alpha$. 我们首先利用先验假设及一些精细的能量估计, 研究一维等熵可压缩微极流模型Cauchy问题在常数状态扰动下大初值强解的整体存在性与大时间行为. 进一步, 利用反导数和时间加权能量方法, 我们研究流体比容$v(t,x)$和速度$u(t,x)$的时间衰减率.

在金融数据分析中, 数据通常具有波动率集聚、异方差和非对称的特性, 需要运用偏态分布下的条件异方差模型进行刻画. 本文研究偏正态分布下GARCH模型的贝叶斯统计诊断问题.首先使用格子-吉布斯算法对偏正态分布下的GARCH模型的参数进行估计, 其次在先验、数据以及模型三种扰动情况下, 分别使用贝叶斯因子、$\phi$散度以及后验均值为目标函数, 运用局部影响分析方法进行统计诊断.数值模拟检验了该方法的有效性, 实证部分对雪佛龙股票的周对数收益率进行偏正态分布下的GARCH建模, 验证了贝叶斯局部影响分析方法的优越性.

在本文中, 我们将运用变分法研究如下非齐次非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性$$\begin{cases}i\partial_t\psi+\Delta \psi+|\psi|^{p}\psi+|x|^{-b}|\psi|^q\psi=0, &\quad (t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N, \\\psi(0,x) = \psi_0 (x), &\quad x\in\mathbb{R}^N,\end{cases}$$其中$N\geq3$,$\psi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$,$\frac{4-2b}{N}<q<\frac{4-2b}{N-2}$,$0<b<2$. 当$0<p<\frac{4}{N}$时, 该方程对应的能量泛函具有局部极小结构. 因此, 我们引入一个局部极小化问题, 通过研究该极小化问题极小化序列的紧性, 证明了该极小化问题极小化子的存在性, 最终获得了极小化子的集合是轨道稳定的.

本文主要研究了带有状态时滞的二维梁方程全局吸引子和广义指数吸引子的存在性, 通过运用Banach不动点定理与算子半群理论证明了具有状态时滞的二维梁方程的温和解的存在唯一性和对初值的连续依赖性, 并结合拟稳定性获得了具有有限分形维数全局吸引子和广义指数吸引子的存在性.

量子Bernoulli 噪声(QBN) 是平方可积Bernoulli 泛函空间和作用于该空间的湮灭和增生算子,它们满足等时的典则反交换关系.随机Schrödinger 方程是描述连续量子测量过程中开放量子系统演化的经典随机微分方程,本文研究了一类具有量子Bernoulli 噪声方法的线性随机Schrödinger 方程的扩散情形,该模型有望在描述开放量子系统与QBN 相互作用的演化中发挥作用.首先,证明了Bernoulli 泛函空间中的一些技术性结论,特别的得到了计数算子的谱分解.接着,以这些定理为主要工具以及Pellégrini 和Mora 等对一般随机Schrödinger 方程的结果,建立了平方可积Bernoulli 泛函空间扩散型随机Schrödinger 方程正则解的存在唯一性定理.最后,证明了扩散情形由非对角可观测量的测量所得离散过程的极限得到,并得到了一些进一步的结果.

由于肿瘤的生长过程受到多种内外部因素的影响,并且这些因素往往具有不确定性和随机性,所以在对肿瘤细胞生长进行建模时必须引入这些随机因素的影响.本文考虑前列腺癌雄激素阻断治疗下两种类型肿瘤细胞的动态行为,利用Lévy噪声来刻画细胞数量发生的随机性变化,建立并分析了由Lévy噪声驱动的随机微分方程模型.首先,通过构造适当的Lyapunov函数,利用Lévy随机微分方程的求解公式,证明了模型全局正解的存在唯一性.然后,利用Lévy-Itô'公式,Lévy随机微分方程的比较定理、指数鞅不等式和Borel-Cantelli引理等随机动力学理论和方法,研究了前列腺癌细胞灭绝性、非平均持久性、弱平均持久性和随机持久性等动力学行为.最后,数值模拟进一步验证了理论结果.结合理论分析和数值模拟可以发现,Lévy 噪声强度越大,前列腺癌细胞越容易被清除.

本文研究了时滞微分方程$$f(z+1)-f(z-1)+a(z)\cfrac{f'(z)}{f(z)}=b(z)$$的有限级亚纯解$f(z)$ 与亚纯函数$g(z)$ CM 分担$0,1,\infty$ 时的唯一性问题, 其中$a(z), b(z)$ 都是非零有理函数, 则或者$f(z)\equiv g(z)$或者$f(z)=Ce^{ik\pi z}$ 且$f(z)g(z)\equiv1,$ 其中$C$ 是不为零的常数,$k$ 是不为零的整数.

非线性矩阵方程${{X}^{m}}-{{A}^{*}}{{X}^{-s}}A+{{B}^{*}}{{X}^{-t}}B=Q$广泛应用于计算物理和最优控制等领域, 由于参数 与正负混杂项的存在, 使得方程的求解较为困难. 本文在一定条件下讨论该方程的Hermite正定解的迭代方法. 首先通过矩阵变换把原问题转化为一个等价的矩阵方程, 然后利用系数矩阵及其偏序构建出方程解的存在区间及三种迭代格式, 并根据每种迭代序列的特点, 利用解的残差范数和迭代序列的单调有界性, 证明了所给迭代均收敛到原方程的Hermite正定解, 同时获得解的误差估计式. 最后运用两个数值算例验证所给方法的有效及可行性.

该文研究了一类具有空间异质性HIV潜伏感染的非局部扩散动力学模型. 克服了非局部算子引起的非紧性困难并利用更新方程得到了下一代再生算子$\mathcal{R}$的泛函表达式, 进而得到模型基本再生数$R_0$, 即下一代再生算子$\mathcal{R}$的谱半径. 然后对系统进行阈值动力学分析. 具体地, 通过构造合适的Lyapunov泛函证明了当$R_0<1$时, 未感染平衡态是全局渐近稳定的; 利用点耗散系统的一致持久性理论证明了当$R_0>1$时, 系统是一致持久的并且系统至少存在一个正平衡态.

本文在两区间上最小算子$T_{0}$ 的正则域$\Pi(T_{0})$非空的情形下,利用直和理论及方程$\tau y=\lambda y$的解,给出两区间上奇异型高阶$J$-对称微分算子的$J$-自伴扩张域的解析描述,其中包括一端正则一端奇异问题及两端奇异问题.

在统计推断里, 参数估计的好坏很大程度上依赖于抽样设计, 所以有效的抽样设计将是一项重要的研究课题. 本文分别在排序集抽样(RSS), 非均等最大值排序集抽样(MaxRSSU)和非均等最小值排序集抽样(MinRSSU)下研究了Topp-Leone分布中参数的极大似然估计(MLE)及其性质. 上述MLE渐近效率的理论结果表明MaxRSSU估计和简单随机抽样估计一样有效, RSS估计和MinRSSU估计都比简单随机抽样估计有效.

在一般无界区域上, 研究三维不可压缩黏性磁流体方程组的初边值问题的大时间渐近行为. 利用算子磨光理论, 首先建立近似解; 其次, 运用谱分析方法、解析半群理论, 对方程组中的非线性项建立了一个新的统一估计, 结合能量估计方法和弱收敛理论, 最终证明了整体弱解的存在性, 给出了大时间衰减速率, 并且揭示了弱解的代数衰减性质是由其内含的线性部分 (即 Stokes方程的半群解)主导.

研究了一类非对称非局部扩散时滞系统(可以是非拟单调系统)的单稳行波解. 首先, 通过构造一对拟单调的上、下辅助系统将行波解的存在性转化为非线性算子的不动点问题, 利用Schauder不动点定理和极限理论分别建立该系统非临界波速和临界波速下单稳行波解的存在性. 其次, 采用分析技术和Ikehara's Tauberian定理研究了该系统单稳行波解的不存在性和渐近行为. 最后, 对所得的理论结果给出了具体的例子和数值模拟.

生存数据下的改进的幂广义威布尔模型(Adapted Power Generalized Weibull,简称APGW) 是一个由威布尔分布扩展而来的参数模型,比例风险模型、加速失效时间模型等许多流行的生存模型都可以看作这个模型的特例.本文将这一模型推广到复发数据下,对 APGW 模型在复发数据下的性质进行了探讨,并给出了参数的最大似然估计,证明了其大样本性质.同时,我们还给出了基于SCAD惩罚的变量选择方法,推导了变量选择结果的 Oracle 性质.此外,我们针对参数估计和模型选择问题分别做了一些随机模拟,以验证所得大样本性质在有限样本下的表现.最后,我们将APGW模型应用到一组膀胱癌复发数据的分析中,得到了一些有意思的结果.

图度量维数问题(MDP)是一类广泛应用于机器导航、化学、网络发现等领域的组合优化问题.本文针对该问题,建立了具有组合特性的通用优化模型,从理论角度刻画了顶点和顶点对之间的分辨关系,提出了图的分辨图和分辨概率分布概念,并确定了一些特殊图类的分辨度概率分布.利用机器学习采样方法,建立了基于强化学习和图卷积神经网络的度量维数近似计算框架.数值实验表明了利用图机器学习算法解决图度量维数问题的有效性.

本文研究了部分观察下不同市场结构与不同风险偏好代理人的内部交易模型. 利用条件期望、博弈理论和投影定理等相关知识, 给出了风险市场的均衡特征, 并解释了均衡条件下的相关经济意义. 影响本文市场均衡的因素有三类, 做市商对风险资产的观察精度、内部交易者的风险偏好程度和风险市场的不同结构. 研究表明：(1) 当做市商对风险资产部分观察精度较高时, 市场基本是强有效的；反之, 则对市场公平性起反作用, 甚至会使得内部交易者释放较低的私人信息也能获取较高的期望利润. (2) 在古诺博弈条件下, 风险厌恶型内部交易者是保守交易者, 因此释放信息速度会比较慢. 在主从博弈条件下, 主导者的投资会比较保守, 而跟随者却较为激进. 总之, 古诺博弈有利于风险中性投资者, 而主从博弈却有利于跟随者. (3) 当内部交易者采用常数策略投资时, 随着做市商对风险资产观察精度的降低, 虽然市场流动性和内部交易者剩余信息均会增加, 但是风险资产观察价格压力却缓慢减少.

本文我们考虑了一类具有Minkowski曲率算子的奇性Rayleigh 方程 $$ \Big(\frac{u'(t)}{\sqrt{1-(u'(t))^{2}}}\Big)'+f(t,u'(t))+g(u(t))=e(t), $$ 其中$g(u)$是一个连续函数并且在原点$u=0$处有奇性.通过Mawhin连续定理和一些分析方法,我们证明了该方程至少存在一个周期正解.

本文考虑Dirichlet边界条件的一维薛定谔方程, 其中, Neumann控制含有界扰动.一方面, 我们设计滑模控制器并分析了闭环系统的稳定性.首先, 利用可逆变换对原系统进行变换, 证明了系统的适定性. 其次, 设计滑模面, 证明了滑模面上系统的指数稳定性. 再次, 构造滑模控制器, 证明系统在有限时间内可达滑模面, 进而证明了闭环系统的稳定性. 另一方面, 我们构造高增益预估器, 设计自抗扰控制器, 并分析了闭环系统的稳定性.最后, 对施加滑模控制和自抗扰控制的闭环系统状态分别进行数值模拟, 说明了两种控制器的稳定效果.

均匀设计是一种空间填充设计,因其试验次数的灵活性而被广泛应用于科学试验和工业生产等领域.偏差用来度量设计的整体均匀性,但在实际问题中,往往需要考虑设计的低维投影均匀性.本文推广了Wang et al.(2021)的结论,利用再生核函数定义了任意$q$水平设计的均匀性模式,并给出了最小低阶投影均匀性准则,该准则可用于筛选最小低阶投影均匀设计.建立了任意$q$水平设计的均匀性模式与广义字长型之间的解析关系,并获得了任意$q$水平设计均匀性模式的一个改进的下界,该下界作为一个基准用于衡量投影设计的均匀性.最后通过数值例子验证了所获得的理论结果.