为了解决矩阵自回归模型 (MAR) 最小二乘估计易受到异常值或厚尾分布误差影响而偏离真值的问题, 本文针对损失函数进行改进, 基于投影方法和迭代最小二乘法, 提出了求解MAR 模型稳健估计的RE-PROJ 和RE-ILS 方法. 两种方法均在构造估计量的过程中使用了M估计的思想, 模拟数据显示上述两种方法能够更好抵御异常值对参数估计的影响. 本文进一步讨论了MAR(p) 模型进行阶数选择的BIC 准则以及矩阵观测值存在相关性时带有减秩假定的稳健估计方法. 实际分析结果表明, 在异常值较多或尖峰厚尾的矩阵值观测数据中, 本文提出的稳健估计相较最小二乘估计, 在拟合和预测方面更具有优势.

基于金融市场高频价格数据, 我们提出其市场微观结构噪声的日历效应估计. 据我们所知, 本文首次建立了估计的相应渐近理论以及给出了相应的统计推断方法. 该理论有助于我们更加深刻地认识市场微观结构噪声的性质, 进而有助于我们更好地认识市场的运行机制和其价格发现功能.

BAR(broken adaptive ridge)方法是一种最新的替代$L_0$惩罚回归方法. 基于重加权的$L_2$惩罚, BAR惩罚同时拥有$L_0$和$L_2$两种惩罚各自的优势, 避免了分别使用这两种惩罚时存在的缺陷. 本文将BAR方法扩展到具有稳健损失函数的线性回归模型, 并使用坐标下降算法对参数进行估计. 为刻画所提出方法的稳健性, 我们给出了稳健BAR估计的影响函数. 在适当条件下, 我们在理论上建立了BAR估计的变量选择相合性和Oracle性质. 我们把所提出的方法与其他已有的方法通过数值模拟和实际数据的分析比较, 进一步验证了新方法在稳健性和变量选择的表现上更具有有效性.

本文说明了白噪声驱动的非自治随机时滞格点方程的 解 生成共环. 进行了一致估计，尾估计，并证明该系统存在拉回随机吸引子. 最后证明了时滞动力系统的随机吸引子当时滞和特定参数同时收敛时的二重上半连续性.

为探究云杉蚜虫周期性爆发的影响因素, 本文在纽曼边值条件下提出了一类具有Holling II型功能性捕食函数的时滞扩散云杉蚜虫模型. 众所周知, 自然界中种群的演化不仅依赖现在的状态, 而且还依赖过去的状态. 这意味着, 考虑时滞能更好地反映生态系统中的某些现象. 为此, 以时滞为参数, 利用特征方程和分析技巧研究了该模型正平衡点的稳定性和单个时滞、两个时滞分别诱发Hopf分支的存在性问题. 最后, 通过数值模拟, 获得了该模型稳定的周期解, 这为云杉蚜虫的周期性爆发原因提供了理论指依据. 此外, 结果表明两个时滞诱发Hopf分支发生的时滞临界值要比单个时滞情形要小.

基于微分方程数学模型的药物动力学的理论研究在药物研发、临床给药方案设计等方面具有重要的作用. 本文通过考虑具并行一级和饱和希尔(n=2)双通道消除的单仓室非线性药物动力学模型, 研究了周期静脉注射用药下的稳态药物暴露量和稳态平均血药浓度的变化规律. 首先, 本文从理论上证明了任意给药方案下脉冲微分方程模型稳态周期解的存在唯一性, 并严格推导了两个重要药动学指标的计算公式: 稳态药物暴露量和稳态平均血药浓度. 其次, 运用数值模拟和理论证明, 预测了不同给药方案下的稳态平均血药浓度的变化趋势. 不同于现有的具一级和米氏消除通道的非线性药物动力学模型的单一趋势, 本文模型结果显示随着给药频率的增加, 稳态平均血药浓度呈现多样化变化趋势: (i)单调递减趋于极限值; (ii)单调递增趋于极限值; (iii)先递减后递增趋于极限值. 最后, 通过对重组粒细胞集落刺激因子的实际药物非格司亭(Filgrastim)的案例分析, 本文给出了不同给药方案下的稳态平均血药浓度的数值解析表达式并定量计算了相应的稳态平均血药浓度和稳态最低血药浓度.

本文研究了一类二阶有理差分方程的分岔与混沌问题. 通过线性稳定性分析, 得到了不动点存在和稳定的参数条件, 并利用中心流形定理、规范型定理和分岔理论, 给出了发生鞍结分岔、跨临界分岔、倍周期分岔和Neimark-Sacker分岔时的临界参数值. 为了进一步识别不同情况之间的混沌行为, 我们计算了最大李雅普诺夫指数和分形维数. 通过数值模拟, 说明了本文所得到的结果. 从模拟中, 我们可以看到一些复杂的动力学行为, 如周期倍增级联、周期窗口、极限环、混沌行为等, 有趣的是, 该系统的动力学行为随着分岔参数的选择将呈现一定的对称性.

结合传染病传播过程中的时空扩散效应, 考虑Holling-IV发生率, 建立了含有潜伏期、饱和治愈、二次感染、游离病毒的传播及空间扩散等因素的SEIAV传染病模型. 得到R₀ < 1时模型的无病平衡点的稳定性以及R₀ > 1时地方病平衡点的持续存在性, 并进一步讨论了R₀ = 1时模型无病平衡点全局吸引性. 利用算子半群理论证明了模型的适定性, 同时还构造了特征值问题, 利用主特征值存在的特性给出基本再生数的一般计算方法. 最后通过数值模拟, 验证了空间扩散的传染病模型传播的影响.

本文研究了一类具有阻尼项的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性问题, 通过利用广义的Riccati变换技术和一些特殊技巧, 在非正则条件下得到了该方程新的振动准则, 改进, 推广和统一了若干最近文献中的振动结果. 最后通过实例验证了本文结果的适用性.

研究一类带有乘性噪声的随机发展方程. 在获得随机发展方程的解收敛到Wong-Zakai逼近方程的解后, 使用指数鞅技术、Kallianpur-Striebel公式和Itô公式,证明随机发展方程及Wong-Zakai逼近方程在带有色噪声的观测系统中所产生的非线性滤波的收敛行为, 进一步得出具体收敛速率.

本文提出了一种基于$L_{2}$范数和Spearman相关性系数的检验高维时间序列的序列相关性和自回归条件异方差效应的假设检验方法. 本文研究了所提的统计量的渐近性质, 并提出了一种基于自助法的计算临界值的方法, 证明了所提假设检验方法可以控制第一类错误的概率. 我们的假设检验方法是维数自由的, 即对数据的维数没有要求, 从而可以用于高维时间序列的情况, 同时本方法对数据的尾部性质没有要求, 从而可以用于重尾的情况. 我们使用了数值模拟和实际数据来说明本文所提方法的有效性.

本文研究了集优化问题的适定性与解的稳定性.首次通过将原始集优化问题嵌入到一族具有相同结构的含参数扰动问题中,引入了集优化问题带扰动的广义$m_{1}$-适定性和$m_{1}$-良定概念,给出了两者之间的关系,并分别给出了带扰动的广义$m_{1}$-适定性充分、必要条件和系列特征.引入了集值映射两种新的单调性定义,并由此研究了含参集优化问题的$m_{1}$-有效解映射半连续性和闭性.

疟疾是一种由病原体引起的媒介传播疾病. 为了研究空间异质性、媒介偏倚效应和季节性对疾病传播的多重影响,本文提出一个疟疾传播的时间周期反应扩散模型.首先引入该模型的基本再生数$R_{0}$,然后证明如果$R_{0}\leq1$, 则无病周期解是全局渐近稳定的,而如果$R_{0}>1$, 则系统存在全局渐近稳定的正周期解.这些证明运用了单调动力系统定理、周期半流和链传递集理论.数值上研究莫桑比克马普托省的疟疾传播, 验证理论分析结果, 讨论模型中关键参数的影响,并得出忽略人群和蚊子的扩散和媒介偏倚效应会低估疾病传播的风险.外还从数量和分布两个方面分析了医疗资源对疾病传播的影响, 并且得到, 增加医疗资源会降低疾病传播风险, 如果医疗资源是固定的, 那么减少医疗资源分布的差异性会降低疾病传播的风险.

本文扩展有限多个市场的网络寡头为具有无限多个市场的情形, 将构建具有连续分布市场的网络寡头模型.在完全非合作的假设下, 首先证明Cournot-Nash均衡的存在性. 进一步, 假定厂商集合存在一个联盟结构, 凭借定义联盟成本函数和联盟利润函数, 我们构建了一个基于联盟结构的非合作博弈, 并证明了此博弈中Nash均衡的存在性. 新的网络寡头模型和Nash均衡的存在性证明为本文的主要贡献.

在本文中, 我们研究一类带有恐惧效应时滞的捕食者-猎物系统的动力学. 首先我们讨论解的正定性, 有界性与持久性, 其次基于中心流形定理与正规形, 我们研究由恐惧效应时滞引起的Hopf分岔. 进一步, 我们讨论分岔周期解的全局存在性. 最后给出数值模拟以支持我们的结论.

该文研究了一类具有饱和恢复率的非局部扩散SEIR时滞模型的行波解.首先,当R₀>1, c> $c^{*}$时,运用Schauder 不动点定理结合极限讨论的方法建立了行波解的存在性,通过构造Lyapunov泛函获得了行波解的渐近边界条件.其次,利用双边拉普拉斯变换证明当R₀>1,0<c<c^*或R₀<1时行波解的不存在性.最后,讨论了时滞、感染者的扩散系数分别对最小波速$c^{*}$的影响. 一般而言,潜伏期越长, 疾病的传播速度越慢.

本文在完全可见情形下对带有故障维修和工作休假的流体排队模型进行均衡策略研究, 其中缓冲器在忙期, 工作休假期和故障维修期三种状态之间交替运行. 运用更新过程理论和常微分方程组的标准型理论揭示了流体水平的纳什均衡行为规律和稳态概率分布, 进而利用经典的拉普拉斯变换导出稳态下缓冲器的平均流体水平. 基于经济学和效用原理构建线性社会收益函数, 通过数值分析找到全局最优止步阈值下社会福利的极值. 考虑以流体全局最优止步阈值和入场单价为联合决策变量构建入场费收益模型, 研究全局最优止步阈值对最大入场费收益的影响. 结合认知无线网络信息传输过程中的节点失效和节点半休眠的特点, 研究相应的参数优化策略和社会收益问题, 对于提升认知无线网络的安全传输性能至关重要, 仿真结果可为无线网络资源的优化配置提供理论支撑.

基于空间异质性, 无症状感染宿主和病原体传播途径的多样性, 提出一类具有无症状感染宿主和多种感染途径的反应扩散宿主- 病原体模型, 并利用半群理论, 讨论模型全局正解的存在性与唯一性. 进一步, 根据下一代算子的谱半径方法给出模型的基本再生数$\mathcal{R}_{0}$, 并用其刻画了疾病的灭绝性和持久性. 即, 如果$\mathcal{R}_0 < 1$, 无病稳态是全局渐近稳定的; 而如果$\mathcal{R}_0>1$, 疾病是一致持续的且模型至少有一个地方病平衡态. 此外, 通过构造合适的Lyapunov函数, 证明空间匀质环境下模型无病平衡态和地方病平衡态的全局渐近稳定性. 最后通过数值模拟解释主要的理论结果并探讨扩散速率对感染宿主分布的影响.

折现Hamilton-Jacobi方程作为接触Hamilton-Jacobi方程的一种特殊形式, 对其研究具有深刻意义。主要研究$\mathbb{T}^n$上时间周期折现Hamilton-Jacobi 方程$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$ 粘性解的收敛性。若$H$是Tonelli型哈密尔顿函数, 关于$t$ 1-周期, 在一定条件下, 该方程有唯一的1-周期粘性解$\bar{u}_\lambda(x, t)$, 本文验证了当$n \rightarrow \infty$时, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_\lambda(x, t+n)=\bar{u}_\lambda(x, t)$, 其中$u_\lambda(x, t+n)$是$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$的粘性解。最后以一个具体的时间周期折现Hamilton-Jacobi方程说明了本文的结论。

研究一类具非标准增长条件和零阶项的椭圆方程弱解的存在性.主要使用的工具是偏微分方程中的弱收敛方法和Young测度方法. 从方程的扰动问题出发,根据方程零阶项的条件和源项的可积性, 选取一些合适的检验函数, 进行一些必要的先验估计以及与取极限有关的估计.借助于Young测度方法确定了非线性项的弱收敛元. 通过取极限得到解的存在性.

本文研究了一类平面凸曲线的全非线性曲率流的非坍塌性. 首先, 我们给出了曲线的内、外非坍塌性的定义, 并通过定义一个函数$Z$, 我们证明了曲线内非坍塌性与函数$Z$的非负性是等价的,外非坍塌性与函数$Z$的非正性是等价的. 之后，我们利用极值原理证明了在一定条件下平面凸曲线缩短流保持非坍塌性.

研究一类周期环境中基于个体年龄等级结构的种群系统的最优收获问题. 首先, 应用冻结系数法和不动点理论得到状态系统非负有界周期解的存在唯一性, 及共轭系统的适定性. 其次, 利用共轭系统和法锥技巧导出最优收获策略的结构, 运用Ekeland变分原理证明最优收获策略的存在唯一性. 最后, 通过数值模拟验证理论结果的有效性的同时发现系统的其他动力学性质. 本文的结果推广和改进了相关文献的部分结果.

为了处理空间数据同时存在的空间异质性和空间相关性,本文考虑了一类空间误差自相关GWR模型.该模型被视为经典GWR 模型和空间误差模型的有效融合.由于模型中误差项的空间滞后项引起的内生性问题,使用现有的GWR模型的估计方法无法得到参数的一致估计.为此,本文结合局部线性估计和截面最小二乘估计的思想,提出一种新的模型估计方法.讨论了估计量的渐近性质, 通过数据模拟评估了所提方法在有限样本下的性能,并将本文的方法和已有的方法进行比较. 数据模拟结果表明, 本文的方法能够更准确地估计模型参数和系数函数.最后通过一个实证案例来说明所提方法的实用性.

结合非单调线搜索技术与修正的Levenberg-Marquardt算法(L-M算法), 本文提出了一种新的求解非线性方程组的非单调修正L-M 算法. 在新算法的每次迭代中, 引入修正步, 并利用价值函数的梯度范数更新L-M参数. 如果试探步没有被接受, 则采用非单调线搜索技术来获取新的迭代点. 在一定的假设条件下, 证明了该算法的全局收敛性和局部收敛性. 数值实验结果表明, 该算法是可行和有效的.

本文系统讨论了修正的短脉冲(mSP) 方程的周期行波解. 首先通过引入新的变量, 将mSP方程的周期行波解问题转化为了一个一阶常微分方程的求解, 然后借助于经典的椭圆函数和椭圆积分, 构造了mSP方程不同种类的周期行波解. 基于得到的周期解, 并对其取极限, 得到了mSP方程的1-cuspon解与新的一种解.

本文研究了一个新的具有双哈密顿结构的修正CH-KP方程. 通过对解的形式做适当的拟设, 导出了该方程的尖峰孤子解, 双尖峰孤子解, 以及周期尖峰孤子解, 并得到了一种新的不会在1+1维情形下存在的双尖峰孤子解.

本文主要研究粘性系数依赖于密度的一维等熵可压缩微极流模型解的时间衰减率问题. 对于参数$\alpha,\gamma\in\mathbb{R}$, 考虑压强$p(\rho)=\rho^\gamma$和粘性系数$\mu(\rho)=\rho^\alpha$. 我们首先利用先验假设及一些精细的能量估计, 研究一维等熵可压缩微极流模型Cauchy问题在常数状态扰动下大初值强解的整体存在性与大时间行为. 进一步, 利用反导数和时间加权能量方法, 我们研究流体比容$v(t,x)$和速度$u(t,x)$的时间衰减率.

针对对流扩散反应(Advection-Diffusion-Reaction, ADR)方程数值解的多参数不确定性量化问题，本文提出了一类基于数据驱动低分辨模型的多分辨蒙特卡罗(Multi-fidelity Monte Carlo, MFMC)估计方法. 该方法将有限元法得到的数值解作为高分辨模型, 并通过离散线性方程的POD降维方法与参数空间DEIM插值方法, 分别得到DEIM和POD-DEIM的两类低分辨模型; 最后通过数值实验对方程中多参数不确定度量的均值和敏感性进行分析, 结果表明, 基于数据驱动低分辨模型的MFMC 估计方法, 与标准蒙特卡罗方法(Monte Carlo, MC)相比, 有效地降低了计算成本, 减小了相对均方误差.

该文主要研究一类具有变指数对数增长的椭圆方程边值问题, 通过比较估计并利用迭代覆盖等方法, 获得了该问题在非光滑区域上的全局Calderón-Zygmund估计, 其中算子$\mathbf{a}$满足某些合适的条件, 给定的向量值函数满足适当的增长条件.

在金融数据分析中, 数据通常具有波动率集聚、异方差和非对称的特性, 需要运用偏态分布下的条件异方差模型进行刻画. 本文研究偏正态分布下GARCH模型的贝叶斯统计诊断问题.首先使用格子-吉布斯算法对偏正态分布下的GARCH模型的参数进行估计, 其次在先验、数据以及模型三种扰动情况下, 分别使用贝叶斯因子、$\phi$散度以及后验均值为目标函数, 运用局部影响分析方法进行统计诊断.数值模拟检验了该方法的有效性, 实证部分对雪佛龙股票的周对数收益率进行偏正态分布下的GARCH建模, 验证了贝叶斯局部影响分析方法的优越性.

本文主要研究了带有状态时滞的二维梁方程全局吸引子和广义指数吸引子的存在性, 通过运用Banach不动点定理与算子半群理论证明了具有状态时滞的二维梁方程的温和解的存在唯一性和对初值的连续依赖性, 并结合拟稳定性获得了具有有限分形维数全局吸引子和广义指数吸引子的存在性.

本文研究了时滞微分方程$$f(z+1)-f(z-1)+a(z)\cfrac{f'(z)}{f(z)}=b(z)$$的有限级亚纯解$f(z)$ 与亚纯函数$g(z)$ CM 分担$0,1,\infty$ 时的唯一性问题, 其中$a(z), b(z)$ 都是非零有理函数, 则或者$f(z)\equiv g(z)$或者$f(z)=Ce^{ik\pi z}$ 且$f(z)g(z)\equiv1,$ 其中$C$ 是不为零的常数,$k$ 是不为零的整数.

在本文中, 我们将运用变分法研究如下非齐次非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性$$\begin{cases}i\partial_t\psi+\Delta \psi+|\psi|^{p}\psi+|x|^{-b}|\psi|^q\psi=0, &\quad (t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N, \\\psi(0,x) = \psi_0 (x), &\quad x\in\mathbb{R}^N,\end{cases}$$其中$N\geq3$,$\psi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$,$\frac{4-2b}{N}<q<\frac{4-2b}{N-2}$,$0<b<2$. 当$0<p<\frac{4}{N}$时, 该方程对应的能量泛函具有局部极小结构. 因此, 我们引入一个局部极小化问题, 通过研究该极小化问题极小化序列的紧性, 证明了该极小化问题极小化子的存在性, 最终获得了极小化子的集合是轨道稳定的.

由于肿瘤的生长过程受到多种内外部因素的影响,并且这些因素往往具有不确定性和随机性,所以在对肿瘤细胞生长进行建模时必须引入这些随机因素的影响.本文考虑前列腺癌雄激素阻断治疗下两种类型肿瘤细胞的动态行为,利用Lévy噪声来刻画细胞数量发生的随机性变化,建立并分析了由Lévy噪声驱动的随机微分方程模型.首先,通过构造适当的Lyapunov函数,利用Lévy随机微分方程的求解公式,证明了模型全局正解的存在唯一性.然后,利用Lévy-Itô'公式,Lévy随机微分方程的比较定理、指数鞅不等式和Borel-Cantelli引理等随机动力学理论和方法,研究了前列腺癌细胞灭绝性、非平均持久性、弱平均持久性和随机持久性等动力学行为.最后,数值模拟进一步验证了理论结果.结合理论分析和数值模拟可以发现,Lévy 噪声强度越大,前列腺癌细胞越容易被清除.

本文基于期望效用最大化准则, 研究再保险和投资问题. 市场上有一个保险人和一个再保险人. 通过使用外推偏差法, 得到索赔相依下的保险模型. 通过最大化保险人和再保险人各自财富的加权, 体现他们的共同利益. 在模糊厌恶框架下, 建立鲁棒随机优化问题. 利用随机控制和随机动态规划理论求解鲁棒随机优化问题, 得到鲁棒最优再保险和投资策略的显式解. 最终, 通过数值实验解释模型参数对鲁棒最优再保险和投资策略的影响, 并指出研究结果的实际指导意义.

非线性矩阵方程${{X}^{m}}-{{A}^{*}}{{X}^{-s}}A+{{B}^{*}}{{X}^{-t}}B=Q$广泛应用于计算物理和最优控制等领域, 由于参数 与正负混杂项的存在, 使得方程的求解较为困难. 本文在一定条件下讨论该方程的Hermite正定解的迭代方法. 首先通过矩阵变换把原问题转化为一个等价的矩阵方程, 然后利用系数矩阵及其偏序构建出方程解的存在区间及三种迭代格式, 并根据每种迭代序列的特点, 利用解的残差范数和迭代序列的单调有界性, 证明了所给迭代均收敛到原方程的Hermite正定解, 同时获得解的误差估计式. 最后运用两个数值算例验证所给方法的有效及可行性.

该文研究了一类具有空间异质性HIV潜伏感染的非局部扩散动力学模型. 克服了非局部算子引起的非紧性困难并利用更新方程得到了下一代再生算子$\mathcal{R}$的泛函表达式, 进而得到模型基本再生数$R_0$, 即下一代再生算子$\mathcal{R}$的谱半径. 然后对系统进行阈值动力学分析. 具体地, 通过构造合适的Lyapunov泛函证明了当$R_0<1$时, 未感染平衡态是全局渐近稳定的; 利用点耗散系统的一致持久性理论证明了当$R_0>1$时, 系统是一致持久的并且系统至少存在一个正平衡态.

量子Bernoulli 噪声(QBN) 是平方可积Bernoulli 泛函空间和作用于该空间的湮灭和增生算子,它们满足等时的典则反交换关系.随机Schrödinger 方程是描述连续量子测量过程中开放量子系统演化的经典随机微分方程,本文研究了一类具有量子Bernoulli 噪声方法的线性随机Schrödinger 方程的扩散情形,该模型有望在描述开放量子系统与QBN 相互作用的演化中发挥作用.首先,证明了Bernoulli 泛函空间中的一些技术性结论,特别的得到了计数算子的谱分解.接着,以这些定理为主要工具以及Pellégrini 和Mora 等对一般随机Schrödinger 方程的结果,建立了平方可积Bernoulli 泛函空间扩散型随机Schrödinger 方程正则解的存在唯一性定理.最后,证明了扩散情形由非对角可观测量的测量所得离散过程的极限得到,并得到了一些进一步的结果.

研究了一类非对称非局部扩散时滞系统(可以是非拟单调系统)的单稳行波解. 首先, 通过构造一对拟单调的上、下辅助系统将行波解的存在性转化为非线性算子的不动点问题, 利用Schauder不动点定理和极限理论分别建立该系统非临界波速和临界波速下单稳行波解的存在性. 其次, 采用分析技术和Ikehara's Tauberian定理研究了该系统单稳行波解的不存在性和渐近行为. 最后, 对所得的理论结果给出了具体的例子和数值模拟.