低秩矩阵补全问题作为一类在机器学习和图像处理等信息科学领域中都十分重要的问题已被广泛研究. 一阶原始-对偶算法是求解该问题的经典算法之一. 然而实际应用中处理的数据往往是大规模的. 针对大规模矩阵补全问题, 本文在原始-对偶算法的框架下, 应用变步长校正技术, 提出了一种改进的求解矩阵补全问题的原始-对偶算法. 该算法在每一步迭代过程中, 首先利用原始-对偶算法对原始变量和对偶变量进行更新, 然后采用变步长校正技术对这两块变量进行进一步的校正更新. 在一定的假设条件下, 证明了新算法的全局收敛性. 最后通过求解随机低秩矩阵补全问题及图像修复的实例验证新算法的有效性.

针对疟疾疫苗在疟疾传播方面的实际问题,构建了一个具有疫苗接种和失效的疟疾传播动力学模型, 并计算了该模型的控制再生数$\mathcal{R}_{c}$.给出了该模型的无疟疾平衡点和疟疾平衡点关于$\mathcal{R}_{c}$的存在性条件.利用Lyapunov函数法结合广义的Lyapunov-LaSalle定理, 建立了无疟疾平衡点和疟疾平衡点关于$\mathcal{R}_{c}$的全局渐近稳定的充分必要条件.

BAR(broken adaptive ridge)方法是一种最新的替代$L_0$惩罚回归方法. 基于重加权的$L_2$惩罚, BAR惩罚同时拥有$L_0$和$L_2$两种惩罚各自的优势, 避免了分别使用这两种惩罚时存在的缺陷. 本文将BAR方法扩展到具有稳健损失函数的线性回归模型, 并使用坐标下降算法对参数进行估计. 为刻画所提出方法的稳健性, 我们给出了稳健BAR估计的影响函数. 在适当条件下, 我们在理论上建立了BAR估计的变量选择相合性和Oracle性质. 我们把所提出的方法与其他已有的方法通过数值模拟和实际数据的分析比较, 进一步验证了新方法在稳健性和变量选择的表现上更具有有效性.

本文研究了函数型部分线性乘积模型, 该模型可用于响应变量为正数的函数型数据的统计建模问题, 经过对数变换后模型转化为函数型部分线性模型. 基于B-样条, 通过极小化最小一乘相对误差(LARE)和最小乘积相对误差(LPRE), 分别给出模型的LARE估计和LPRE估计, 其中B-样条基的维数利用Schwarz信息准则选取. 对两种估计方法分别给出斜率函数估计的相合性和参数部分估计的渐近正态性, 并且证明了斜率函数的收敛率达到了非参数函数估计的最优速率. 蒙特卡洛模拟用来比较所提出的方法与最小一乘(LAD)估计和最小二乘(LS)估计在不同误差分布下的有限样本性质, 模拟结果表明所提方法是有效和实用的. 最后通过一个实际数据分析的例子来说明模型的应用.

修正晶体相场模型是一类六阶非线性广义阻尼波动方程. 首先, 基于Crank-Nicolson格式, 利用降阶方法对方程建立线性化隐式差分格式. 非线性项通过二阶外推方法进行处理. 其次,利用能量分析方法和数学归纳法, 对差分格式进行理论分析, 证明差分格式的唯一可解性及$L^{\infty}$范数下的收敛性.收敛阶在时空方向均为二阶.最后, 数值算例表明差分格式的有效性及数值收敛阶在$L^{\infty}$范数下达到二阶.

该文建立一类具有抗病毒药物周期治疗的HIV时滞微分方程模型来研究HIV在宿主体内的阈值动力学. 为了研究病毒逆转录和芽殖过程对HIV感染进程的影响, 通过引入两个时间依赖的潜伏期去分别刻画病毒逆转录期和芽殖期.首先, 利用泛函微分方程理论研究了模型的适定性包括周期解的全局存在性和系统的耗散性; 其次, 利用周期传染病仓室模型基本再生数定义再由下一代再生算子确定出模型基本再生数$R_0$; 最后, 讨论了系统的全局动力学行为. 具体地, 利用一致持久性理论证明了当$R_0>1$时HIV在宿主体内的感染和复制是持久存在的, 当$R_0<1$时系统无感染周期解是全局吸引的, 即HIV在宿主体内最终会被消除的.

大数据时代的信息采集能力为时间序列分析带来了更多复杂的数据结构. 矩阵值时间序列常见于宏观经济、金融和管理领域,表现为多个位置多个指标的连续观测. 矩阵自回归模型具有双线性结构和较少的参数个数, 在模型表达和预测方面均优于向量自回归模型. 然而, 矩阵自回归模型仅包含时间维度的预测结构, 未涉及空间维度的预测结构, 因此本文加入含有空间权重矩阵的空间滞后回归项, 提出矩阵值时间序列的时空滞后回归模型. 本文为每个位置和每个变量赋予尺度参数和调整参数, 用于检验空间预测效应是否存在. 由于提出的模型没有内生性问题, 本文采用部分迭代最小二乘法获得良好的参数估计, 给出模型阶数选择的BIC准则和减秩估计, 并针对残差项厚尾分布的数据特征, 提出基于Huber损失函数的稳健估计方法. 模拟数据显示随着样本量的增大, 估计量的偏差和方差逐渐减小. 实际数据说明, 本文提出的模型具有适中的模型复杂程度和最小的样本外预测误差.

丙型病毒性肝炎(简称丙型肝炎或丙肝)是一种由丙型肝炎病毒(HCV)感染引起的病毒性肝炎, 可导致肝脏慢性炎症坏死和纤维化, 部分患者可发展为肝硬化甚至肝细胞癌(HCC). 本文利用丙型肝炎数据建立惩罚三项logit模型诊断患者的疾病分期: 首先选取患者的12项生理指标作为预测向量, 丙型肝炎的三种疾病分期作为响应变量; 接着利用70%的数据作为训练集学习LASSO/Ridge/ENet惩罚三项logit模型, 得到模型的参数估计和概率估计; 再利用30%的数据作为测试集, 结合三类混淆矩阵, ROC(receiver operating characteristic) 曲面, HUM(hypervolume under the ROC manifold), PDI(polytomous discrimination index)和Kappa(Cohen's kappa coefficient)等评估疾病分期的预测精度; 最后引入人工神经网络(ANN), 支持向量机(SVM)和随机森林(RF)等机器学习方法和惩罚三项logit模型进行比较, 发现惩罚三项logit模型的三类分类预测表现最好, 不仅能够进一步提高疾病分期的诊断精度, 而且可以降低丙型肝炎的检测成本.

分数阶微分方程作为整数阶微分方程的推广, 近年来被广泛应用于科学和工程领域, 从而受到越来越多学者的关注. 本文提出一种新型Crank-Nicolson有限体积方法求解具有Dirichlet齐次边界的Riesz空间分数阶对流-扩散方程. 为了得到Riesz空间分数阶对流-扩散方程的离散格式, 在时间层上, 利用Crank-Nicolson方法对一阶时间偏导数进行离散. 在空间层上, 利用有限体积法近似对流项的一阶空间偏导数和扩散项的Riesz空间分数阶偏导数. 更进一步, 我们也得到了该Crank-Nicolson有限体积离散格式的稳定性和收敛性两个主要理论结果. 证明了该离散格式是无条件稳定的, 以及在离散$L_2$-范数下的收敛阶为${\mathcal O}(h^2+\tau^2)$, 其中$h$和$\tau$分别为空间和时间上的步长. 最后, 通过数值试验验证了该离散格式理论结果的正确性.

结合博弈论研究排队系统中顾客的策略行为成为当前排队论研究的一个热点. 本文研究了离散时间排队系统中风险敏感性顾客的策略行为. 不同于经典排队经济学的是, 本文的效用函数是期望-方差二次效用函数. 根据纳什均衡和马氏过程理论, 该文分别研究了在完全可视和完全不可视两种情况下Geo/Geo/1排队系统中风险敏感性顾客的博弈行为. 得到了风险敏感性顾客的个体最优策略、社会最优策略和服务商利润最优策略. 研究发现, 风险敏感系数越小, 顾客越喜欢冒险, 加入系统的意愿越强. 数值实验探索了风险敏感系数对顾客策略行为的影响.

本文考虑了含有$l_1$范数优化问题的求解方法, 此类问题在压缩感知等研究领域有广泛应用. 基于光滑函数，文中给出了一种新的求解此类含有$l_1$ 范数优化问题的共轭梯度法. 在一般条件下分析了算法的全局收敛性，相关的数值结果也表明了算法的有效性.

自然界中几乎不存在简单的线性动力学系统, 大多数都是以非保守非线性动力学系统的形式存在, 而非标准Lagrange函数可以用于非保守非线性问题的动力学建模. 同时, 分数阶模型也是研究复杂动力学及物理行为的较好选择. 因此本文研究了广义分数阶算子下非标准Lagrange系统的Noether对称性与守恒量. 首先, 建立广义分数阶算子下非标准Lagrange 系统的Lagrange方程, 然后基于Hamilton作用量在无限小变换下的不变性, 建立广义分数阶算子下非标准Lagrange系统的Noether定理, 并给出该系统的对称性及相应的守恒量. 在特定条件下广义分数阶算子下非标准Lagrange系统的Noether守恒量可以退化为整数阶非标准Lagrange系统的Noether守恒量, 最后举例说明所得结果的具体应用.

预见控制能够利用已知的未来目标值信息或干扰信息来改善控制系统性能, 重复控制将人类的学习机制引入控制系统, 它们都在众多实际工程领域得到很好的应用. 当目标值信号为周期信号且可预见时, 针对一类变时滞参数不确定系统, 本文考虑变时滞系统的预见重复控制问题. 首先, 引入重复控制器、采用预见控制理论中误差系统的方法及离散二维模型, 建立包含未来目标值信号信息的二维扩大误差系统, 将原系统的预见重复控制器设计问题转化二维扩大误差系统的输出反馈控制问题; 然后, 针对二维扩大误差系统, 考虑输出反馈时, 改造输出方程、融合可预见信号的未来信息和重复控制器. 利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式技巧给出系统渐近稳定的条件及预见重复控制器的设计方法. 最后两个仿真实验验证了该方法的有效性.

作为金融市场体系的重要组成部分, 选择最优的投资和再保险策略对保险公司来说十分重要. 本文研究了保险公司在均值-方差准则下的最优投资和再保险问题, 假设保险公司通过购买比例再保险来分散自身风险, 其盈余过程由近似经典Cramér-Lundberg模型的扩散过程刻画, 此外, 保险公司通过投资于无风险资产和风险资产来增加收入, 其中风险资产价格服从Volterra Heston模型. 由于Volterra Heston模型的非马尔可夫性和非半鞅性, 经典的随机最优控制框架不再适用, 本文通过构造一个辅助随机过程, 得到了依赖于Riccati-Volterra方程解的最优投资和再保险策略及有效前沿, 并对最优策略、有效前沿和波动率粗糙度、再保险因素之间的关系进行了数值分析, 发现股票价格的波动率越粗糙, 保险公司对股票市场和再保险的需求越大.

本文关注带正同态算子的脉冲分数阶微分方程积分边值问题正解的多重性问题. 利用经典的Guo-Krasnosel'skii 不动点定理,给出了脉冲分数阶微分方程至少存在两个正解的充分条件. 最后, 用实例验证了理论结果的有效性.

本文借助于Riemann-Hilbert (RH) 问题研究修正Korteweg-de Vries (mKdV)方程, 给出一种有效方法来获得快速衰减初值空间下的孤子解. 在正散射过程建立 Jost函数和散射矩阵重要性质来构建一个合适的RH问题, 进而建立mKdV方程的解和RH 问题解之间的关系. 在反问题过程中, 考虑了两类散射数据, 包括简单零点和二阶零点, 以及求解相应的RH问题, 成功构建在这两种情形下mKdV方程的显示解. 最后, 结合具体参数, 详细分析了几类孤子解的传播行为.

研究了在$\mathbb{R}^3$中有界区域内的多孔介质中相互作用的Brinkman-Forchheimer流体与Darcy流体方程组解的结构稳定性, 假设在$\Omega_1$中流体速度较慢, 满足Brinkman-Forchheimer方程组, 而在$\Omega_2$ 中, 饱和流体满足Darcy方程组. 借助于温度的四阶范数估计以及Sobolev不等式, 构造能量表达式, 推出该表达式所满足的微分不等式, 积分得到了相互作用Brinkman-Forchheimer与Darcy流体方程组的解对Brinkman系数的连续依赖性结果.

许多领域都离不开试验, 例如在新产品的研发以及测试中都需要进行精心设计的科学试验. 当在试验中因子的水平改变非常困难时, 如何合理安排试验次序是一个非常重要的问题. 本文研究了具有最小和最大水平变化次数的试验次序的一些基本理论, 并针对完全因析设计、非正规部分因析设计和均匀设计等设计讨论了最优试验次序构造方法. 作为实际中广泛应用的一些设计, 利用本文的结果给出了其具有最小和最大水平变化次数的试验次序及相应的水平变化次数.

本文对二维 Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (Fisher-KPP)方程建立了一组加权的结构保持有限差分方法. 运用能量分析法证明了当网格步长, 参数$\alpha$, $p$ 及$\theta$满足一定条件时差分解具有保正性, 保界性, 保单调性等一系列数学性质, 且在无穷范数意义下有$O(\tau+h_{x}^{2}+h_{y}^{2})$ 的收敛阶.然后, 依据差分解的渐进展式, 建立了一类Richardson外推法, 获得了收敛阶为$O(\tau^{2}+h_{x}^{4}+h_{y}^{4})$ 的外推解,提高了计算效率. 最后数值实验表明, 数值结果与理论结果相吻合.值得提及的是本文构造的Richardson 外推法无需对时、空网格比增加额外的条件.

本文利用极值原理在Fréchet次微分下研究了非光滑多目标优化问题的最优性条件. 首先, 研究了非光滑半无限多目标优化问题的必要性条件. 随后, 建立了非光滑多目标优化问题Henig真有效解的必要条件.

考虑到金融市场数据波动的不确定性, 本文提出了一个新的对数均值回复跳扩散4/2随机波动率(LMRJ-4/2-SV)模型. 首先, 构建了LMRJ-4/2-SV模型, 并利用FFT等方法获得了基于LMRJ-4/2-SV模型的欧式期权定价公式. 其次, 对实际市场数据进行描述性统计分析, 探讨标的资产价格变化特征及LMRJ-4/2-SV模型的适用性, 并通过粒子群优化算法估计模型参数. 最后, 基于LMRJ-4/2-SV模型下的期权定价公式及模型参数估计值对欧式期权进行定价, 并将其定价结果与 4/2、3/2、Heston模型估计值及市场价格进行对比. 结果表明: 基于LMRJ-4/2-SV模型的欧式期权定价误差最小, 定价结果较其它随机波动率模型而言具有明显优势.

本文研究高频函数型数据均值的检验问题. 对选取主成分个数无限且协方差算子具有离群特征根的函数型数据, 由于样本量的不足和协方差算子的强条件, 经典的基于函数主成分降维方法构造的卡方或混合卡方检验会失效. 因此针对该问题本文提出一种随机化检验, 并证明其大样本性质, 进一步用有限样本的数值模拟研究来验证该方法的有效性, 最后将该方法应用到基准音素数据中.

均匀设计以其稳健和使用方便、灵活的特性而广受欢迎. 为获得实验目标区域内散布均匀的设计点集, 不同的均匀度量标准相继被提出. 目前被广泛应用的有中心化$L_2$-偏差、可卷型$L_2$-偏差、混合偏差等. 对称化$L_2$-偏差具有更好的几何性质, 但受限于投影均匀性差的缺陷, 使用范围十分有限. 为了改进对称化$L_2$-偏差的低维投影均匀性, 基于指数加权方式的投影加权对称化$L_2$-偏差的概念被提出, 加权后的对称化$L_2$-偏差既能保留原偏差的各种优良性质, 同时有效克服原来的缺陷并有更优异的表现. 折叠翻转是构造因子设计时非常有用的技巧. 本文利用投影加权对称偏差来作为评价折叠翻转方案的最优性准则, 得到了两水平U-型设计在一般折叠翻转方案下扩大设计的投影加权对称偏差的下界, 该下界可以作为寻找最优折叠翻转方案的基准.

图$G$的3-彩虹控制函数是指从$G$的顶点集$V$到集合$\{1,2,3\}$的幂集的映射$f$,使得任意满足$f(v)=\varnothing$的顶点$v$均有$\bigcup\limits_{u\in N(v)}f(u)=\{1,2,3\}$成立,其中$N(v)$是顶点$v$的邻域.图$G$的3-彩虹控制函数$f$的权为$\sum\limits_{v\in V}|f(v)|.$如果$f$既是图$G$又是其补图的3-彩虹控制函数, 则称$f$为图$G$的全局3-彩虹控制函数.图$G$的全局3-彩虹控制数是指$G$的全局3-彩虹控制函数的最小权.通过对图的结构分析,利用分类讨论法完全刻画了全局3-彩虹控制数等于顶点数的所有图.

本文用混合有限元方法研究一般的非线性湿气迁移方程.利用双线性元,$Q_{11}$ ,和零阶,Raviart-Thomas 元, ($Q_{10}\times Q_{01}$) 证明方程的超收敛性. 利用这两个单元插值算子的性质和平均值技巧, 得到了方程半离散格式的, $O(h^2 )$, 阶超收敛结果. 对于方程线性化的, Crank-Nicolson,(C-N) 全离散格式,,得到了具有, $O(h^2+\tau^2)$, 阶的超收敛结果, 这里, $h$ 是空间剖分参数, $\tau$ 是时间步长.该方法说明如果线性化问题有超收敛性, 那么对应的非线性问题有同样的超收敛性.最后, 给出数值算例, 证实了理论分析的正确性和方法的有效性.

由于观测噪音的影响, 现有的绝大多数扩散模型波动函数的识别检验在高频环境下会失效. 本文采用局部平均方法对存在观测噪音的数据进行平滑处理, 基于平滑后的观测值, 结合条件矩和非参数核估计方法构造U 统计量对扩散模型波动函数进行识别. 所构造的检验统计量在波动函数形式设定正确时, 收敛到标准正态分布. 蒙特卡罗模拟结果显示, 与现有检验方法相比, 该统计量具有更合理的检验水平和更强的检验功效. 将构造的检验统计量应用于中国银行股价对数化序列的识别过程, 得到更为合理的检验结果.

考虑了一类具有变系数耗散和导数型非线性项的广义Tricomi方程在次临界情况下解的爆破问题. 构造若干含时泛函，结合测试函数方法和贝塞尔方程，得到了含时泛函的迭代框架和第一下界. 然后通过迭代证明了其柯西问题解的爆破以及生命跨度的上界估计.

本文主要研究可积的耦合Sasa-Satsuma 方程, 它可用于描述两个超短脉冲在双折射或双模光纤中的传输动力学.通过Darboux-穿衣变换, 可以得到一类半有理解.这类解能够展示出怪波与呼吸波之间各种有趣的叠加场景.这些结果将有助于丰富和解释出现在光纤和色散介质中一些相关的非线性现象.

邻点可区别边染色是指图$ G $有一个正常边染色且任意两个相邻顶点的颜色集合不相等. 邻点可区别边色数是指使图$ G $ 有一个邻点可区别边染色的最小颜色数值, 记作$ \chi_{a}{'}(G) $. 本文证明了: 若图$ G $是围长至少为$ 6 $的正常平面图, 则有$ \chi_{a}{'}(G) \leq \max\{6, \Delta(G)+1\} $.

在本文中, 我们研究一维线性Navier-Stokes-Fourier方程组, 在适当的初值条件下, 给出了解的衰减性的逐点估计, 并刻画了解的衰减方向, 同时验证了广义的Huygens 原理成立. 为此, 我们通过Fourier 变换的方法, 将方程组Green 函数的Fourier变换划分为低频、中频、高频三部分, 分别证明了相应频率段的Green函数的衰减性质, 再通过Fourier逆变换与基本解的性质, 得到原问题解的衰减估计.

本文主要引入系统关于叶集(叶层)拟跟踪性的拓扑定义, 并在黎曼流形上得到该定义与通常意义下系统关于叶层拟跟踪性的定义是等价的. 同时, 我们分别在紧致完全不连通Hausdorff空间上和黎曼流形上讨论了系统关于叶集(叶层)的拟跟踪性和有限型移位序列的逆极限之间的联系. 此外, 我们还给出了因子映射保持拟跟踪性的一个充分条件.

本文研究了一类具有阻尼项的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性问题, 通过利用广义的Riccati变换技术和一些特殊技巧, 在非正则条件下得到了该方程新的振动准则, 改进, 推广和统一了若干最近文献中的振动结果. 最后通过实例验证了本文结果的适用性.

在WOD序列下分别考虑了风险价值VaR和条件风险价值CVaR的估计. 研究了VaR样本分位数估计的Bahadur表示以及强相合性. 同时, 对条件风险价值CVaR估计的强相合性及其收敛速度进行研究, 通过选取适当的参数其收敛速度接近于 $O(n^{-\frac{1}{2}})$. 为了说明所得的VaR和CVaR估计的理论结果, 我们分别利用ARMA(1,1)模型和MA(1)模型产生的WOD随机数进行了数值模拟, 通过VaR和CVaR相应的真实值和估计值曲线图对理论结果的有效性进行了验证.

该文的主要目标是研究一类带有参数的非线性电报方程组. 根据参数不同的取值, 作者应用紧算子不动点指数理论证明了一类非线性电报方程组正双周期解的存在性、多重性和非存在性.

基于金融市场高频价格数据, 我们提出其市场微观结构噪声的日历效应估计. 据我们所知, 本文首次建立了估计的相应渐近理论以及给出了相应的统计推断方法. 该理论有助于我们更加深刻地认识市场微观结构噪声的性质, 进而有助于我们更好地认识市场的运行机制和其价格发现功能.

基于微分方程数学模型的药物动力学的理论研究在药物研发、临床给药方案设计等方面具有重要的作用. 本文通过考虑具并行一级和饱和希尔(n=2)双通道消除的单仓室非线性药物动力学模型, 研究了周期静脉注射用药下的稳态药物暴露量和稳态平均血药浓度的变化规律. 首先, 本文从理论上证明了任意给药方案下脉冲微分方程模型稳态周期解的存在唯一性, 并严格推导了两个重要药动学指标的计算公式: 稳态药物暴露量和稳态平均血药浓度. 其次, 运用数值模拟和理论证明, 预测了不同给药方案下的稳态平均血药浓度的变化趋势. 不同于现有的具一级和米氏消除通道的非线性药物动力学模型的单一趋势, 本文模型结果显示随着给药频率的增加, 稳态平均血药浓度呈现多样化变化趋势: (i)单调递减趋于极限值; (ii)单调递增趋于极限值; (iii)先递减后递增趋于极限值. 最后, 通过对重组粒细胞集落刺激因子的实际药物非格司亭(Filgrastim)的案例分析, 本文给出了不同给药方案下的稳态平均血药浓度的数值解析表达式并定量计算了相应的稳态平均血药浓度和稳态最低血药浓度.

本文证明如果动力系统具有周期$\mathscr{M}_{\alpha}$-跟踪性质或者 周期$\mathscr{M}^{\alpha}$-跟踪性质, 则其测度中心的限制系统也具有 相同的跟踪性质. 反之, 如果动力系统在其测度中心的限制系统具有周期$\mathscr{M}_{\alpha}$-跟踪性质 (或者, 周期$\mathscr{M}^{\alpha}$-跟踪性质), 则该动力系统具有周期$\mathscr{M}_{\beta}$-跟踪性质 (相应地, 周期$\mathscr{M}^{\beta}$-跟踪性质), 对任意$\beta\in [0, \alpha)$. 同时得到对等度连续系统, 众多跟踪性质都等价于 动力系统具有平凡的测度中心.

考虑了通过半无穷柱体的Kelvin-Voigt流体, 其中Kelvin-Voigt流体在柱体的侧面上满足齐次边界条件. 利用能量估计和先验估计的方法, 证明了应变能随距柱体有限端的距离指数式衰减性质. 这种类型的结果可看作Saint-Venant原理型的"距离效应".

研究一类具非标准增长条件和零阶项的椭圆方程弱解的存在性.主要使用的工具是偏微分方程中的弱收敛方法和Young测度方法. 从方程的扰动问题出发,根据方程零阶项的条件和源项的可积性, 选取一些合适的检验函数, 进行一些必要的先验估计以及与取极限有关的估计.借助于Young测度方法确定了非线性项的弱收敛元. 通过取极限得到解的存在性.