本文考虑目前国内实施的跟踪隔离和筛查措施，以及南京关联疫情外溢情况，基于全国和江苏省疫情报告数据以及百度人口迁徙数据，构建了考虑中国大陆31个省、自治区和直辖市的新冠肺炎传播复杂网络模型.旨在研究疫情发展趋势、防控措施的有效性以及突发性疫情外溢传播风险.首先基于确诊病例、跟踪隔离密切接触者以及外溢省份数量等数据拟合模型，估计了本次疫情的发展趋势和感染规模，探讨了常规防控和应急响应措施对疫情发展态势和防控效果的影响.其次重点研究了给定初始暴发区域时其余地区的外溢感染风险，给出了外溢高风险区域识别方法，以及高风险区域排序.通过与2020年武汉、北京和辽宁疫情外溢情况对比，验证了方法的可靠性，并以此发布各省份高风险输入预警，为后期的突发疫情防控以及外溢风险提供早期预警.

基于拟极大指数似然方法,本文研究了利用日内高频数据来估计日频GARCH模型的参数.已有的相关研究均假定GARCH方程中常数项是给定的,限制了方法的广泛应用.本文基于常规的GARCH(1, 1)模型框架,针对模型全部参数给出了两步估计方法,讨论了估计量的理论性质.针对不同的波动率替代,文章也给出了最优波动率替代选择标准.模拟研究和实证研究表明所提估计方法有很好的表现和一定的应用价值.

准确估计人口总数估计量方差是中国1%人口抽样调查数据分析重要内容.但由于中国1%人口抽样调查综合采用分层、二阶段、概率比例、整群抽样方法,且原则上从每个被抽中初级单元中仅抽取一个次级单元,传统抽样调查方差估计方法不再适用.本文提出适用于中国1%人口抽样调查的不等概率重权数Bootstrap方差估计法.该方法将不等概率抽样引入重抽样过程,并针对从绝大多数被抽中初级单元中仅抽取一个次级单元情形,设计入样概率.理论推导和数值模拟表明,新方法能减少方差估计量偏差,实例分析验证了该方法在中国1%人口抽样调查中的优良性.

本文讨论了一类时标上右端函数为两项和的集值微分方程解的收敛性问题.首先引入时标上集值函数的Hukuhara导数意义下的Δ偏导数概念,并给出了时标上集值微分系统的比较原理.对于所构造的迭代序列,通过利用广义拟线性化方法和分析技巧,得到了上述问题近似解的平方收敛结果.

本文构造并研究了一类具有季节交替的n维连续时间Leslie/Gower竞争模型.我们先分析了该模型在一维情形的完整动力学.再利用Diekmann, Wang和Yan发展的离散竞争映射的负载单形理论,证明了该系统存在一个\ssize (n-1)维的吸引R₊ⁿ上所有非平凡轨道的负载单形.

基于Sklyanin的可积边界理论,本文研究了二维可积聚焦非线性薛定谔方程族的可积边界条件.对于偶数阶非线性薛定谔方程,我们给出了一类可积边界条件;通过边界穿衣方法,我们构建了这一类方程在半直线上满足可积边界条件的多孤子解.对于定义在半直线上的奇数阶非线性薛定谔,可积边界方法只能得到该类方程的实退化：即所得方程退化为实方程.

本文对可行域为不等式约束构成的带洞非凸域上光滑优化问题,通过添加动约束函数的形式,将带洞非凸可行域分割为两个非凸不带洞可行域,讨论了带洞非凸域上优化问题与不带洞两个非凸优化问题KKT点的关系;在非凸不带洞的可行域上,给出了初始点方便选取的动约束同伦算法,证明了同伦路径的存在性,有界性和收敛性,通过数值算例表明该算法是可行的,有效的.

本文研究了一类具有时变时滞的非线性分数阶退化微分系统的有限时间稳定性问题.首先通过退化微分系统理论得到了系统正则无脉冲的充分性条件.在此基础上通过建立Lyapunov泛函,并利用广义Gronwall不等式和线性矩阵不等式方法给出了含有时变时滞因素的分数阶退化微分系统的有限时间稳定性判据.最后给出具体的算例验证了定理条件的有效性.

本文研究一类空间异质反应扩散HIV感染模型的最优治疗问题.借助最小化序列技巧确立了最优策略的存在性.随后,通过应用凸摄动理论给出最优控制满足的一阶必要条件.在不考虑末端时刻控制成本的情况下给出了Bang-Bang形式的最优策略.数值模拟验证了同时采取三个治疗策略能够显著降低 HIV病毒以及感染细胞的载量从而有效地控制HIV在宿主体内的感染进程.

方差最优对冲策略是金融市场中控制风险的重要工具.文章以几何平均亚式看涨期权为例,假设标的资产的价格服从离散时间下的独立增量过程,得到了标的资产价格的Föllmer-Schweizer分解,进而推导出了亚式期权的方差最优对冲策略,以及相应的方差最优对冲误差.该方法可以应用于二因子模型等独立非平稳增量的情况,为投资者、金融机构提供了更有效的计量模型,同时加深了人们对风险管理的认识.

在变指数Sobolev空间框架下,研究一类非线性抛物方程弱解的存在性.方程带有非强制项且主部扩散项中的算子并不是严格单调的.在新的泛函结构中,这些特点使得无法直接使用 pseudo-monotone算子理论.运用 Ladyženskaja-Solonnikov-Ural'ceva的时间分片技术,得到了正则化方程解序列的一致能量估计.通过函数空间的嵌入关系,借助于 Simon紧性定理,得到了逼近解序列的几乎处处收敛.利用偏微分方程的弱收敛方法和 Minty的技术,证明了方程弱解的存在性.

格子点集填充方法是基于空间填充设计的思想构造试验域内均匀分布设计点的首选方法.格子点集所引出的空间填充设计方法在超立方体上有很多好的性质，有许多出色的工作对此做了研究和总结.混料试验域比超立方体的情况更复杂且目前研究成果较少.本文通过构造混料试验的格点填充设计，使得均方误偏差与最大距离偏差有显式表达.这里首先给出了混料试验域的剖分方法，然后讨论了混料格点填充及其性质，其次构造了单纯形的保距独立变换与正交性的格点填充设计，给出例子说明方法的有效性.最后提出了可进一步研究的问题.

基于具有参数依赖的Lyapunov函数方法及LMI技巧,本文研究一类具有时变参数不确定广义离散时间系统的有限时间预见控制问题.首先,采用预见控制理论中误差系统的方法,引入两个辅助变量和离散提升技术,构造出包含未来目标值信号的信息的扩大误差系统,将有限时间预见跟踪问题转化为扩大误差系统的有限时间稳定性问题;然后,针对所推导的扩大误差系统,考虑输出反馈时,改造输出方程,使其包含可预见信号的信息,通过LMI技巧给出闭环系统有限时间稳定的条件及预见控制器的设计方法.通过求解LMI,即可确定预见控制器增益矩阵.数值仿真表明本文结果的有效性.

在大数据分析中, 由于数据量巨大, 储存于不同的机器中, 常用的统计分析方法不能直接适用. 因此需要对数据进行分布式计算. 无论是分而治之还是多中心数据都需要对数据或计算中间结果进行传输. 传输中不仅需要对数据进行隐私保护，也需要保证传输的高效性, 同时传输次数过多不仅影响计算的效率, 对数据的隐私保护也更有挑战. 受此启发, 本文在差分隐私模型下, 提出了用于高效通讯的分布式参数估计算法中的隐私保护方案, 并且严格证明了该方案既能有效保护数据安全, 又不影响参数估计的有效性. 最后, 本文就线性模型下基于差分隐私保护算法的参数估计进行了模拟和实例验证.

基于一个新的搜索方向，提出求解一般Fisher市场均衡的线性权互补（LWCP）模型的全牛顿步可行内点算法.运用内点算法中的一个连续可微函数，给出光滑中心路径的代数等价形式，从而得到LWCP的新搜索方向.通过推广线性优化的全牛顿步内点算法，提出求解LWCP的全牛顿步可行内点算法.算法每次迭代运用全牛顿步，无需进行线性搜索，节省计算工作量和内存.证明算法求解线性权互补问题和一般Fisher市场均衡的多项式复杂度.数值算例结果表明算法有效.

在经典破产研究中,许多研究者将盈余过程首次低于某一阈值（通常设置为0)定义为破产事件,这一处理方法简化了研究工作,却忽略了破产事件在现实中的复杂性. Li X, Liu H B, Tang Q H, Zhu J X. Liquidation risk in insurance under contemporary regulatory frameworks. Insurance: Mathematics and Economics, 2020, 93: 36--49采用时齐扩散过程建模保险公司的盈余水平,在考虑破产重整的情况下对保险公司的清算风险进行了概率分析.然而,由于保险公司经营的特殊性,其理赔过程通常是不连续的,需要用带有跳的过程来建模保险公司的盈余过程,另一方面,定义清算事件的三个边界都是正的.考虑到这些因素,本文在指数谱负 Lévy过程下对清算风险进行了概率分析.本文通过引入一个辅助盈余过程,将风险模型转化为谱负 Lévy过程,利用盈余过程的分段强马尔科夫性和谱负 Lévy过程的波动理论,将清算概率和清算时间的拉普拉斯变换的表达式以 scale函数的形式半显示表示.本文最后包含了关于 Pareto分布索赔下的数值结果,这在保险研究领域是非常重要的.

排序集抽样方法适用于样本测量困难但排序容易的场合，其样本包含了次序信息.指数分布在寿命试验中占有非常重要的地位，为了提高指数分布参数的估计效率，本文提出了排序集抽样下参数的最优线性无偏估计量，计算了新估计量的方差，证明了其具有渐近正态性.相对效率和模拟效率的研究结果表明：新估计量的估计效率不仅高于简单随机抽样下一致最小方差无偏估计量，也高于排序集抽样下样本均值和修正极大似然估计量.最后，将推荐方法应用到转移性肾癌的临床研究中，从而验证该方法的有效性.

在分布式条件下，为了缩减通信成本，本文基于BFGS拟牛顿法解决了相应的分布式算法设计与统计推断问题.在较低的通信成本下，本文建立了快速分布式BFGS算法，其关键是将步长进行分布式近似计算；从理论上证明了当迭代次数满足一定条件时，所得的BFGS估计量具有一致性和渐近正态性，并且给出了一个方差估计公式.通过模拟实验验证了本文基本理论的正确性，同时验证了分布式BFGS方法的估计效果与集中式方法十分接近，从而进一步说明该方法的有效性.

本文提出一个求解非光滑凸优化问题非精确梯度镜面下降算法.该算法是Allen-Zhu 2016年提出求解光滑凸优化问题梯度镜面下降算法的推广，而且该算法允许目标函数中光滑部分梯度计算和非光滑部分邻近算子计算都存在误差，并且在适当条件下分析了该算法函数值序列的$O，（\frac{1}{k^{2}}）$收敛速度，这里$k$表示迭代数.最后关于Lasso问题和Logistic问题的数值结果表明该算法是有效的.

假设火在图$G$的某个顶点燃起,消防员每步最多可以防护$k$个顶点,然后火蔓延到所有未被防护的邻点.当火随机地在图$G$的一个顶点燃起时,消防员最多能防护的顶点数的平均比率称为图$G$的,$k$-存活率,记为$\rho_k (G)$.如果图$G$能画在平面上使得每两对交叉边至多有一个公共顶点,那么称$G$是NIC-平面图.本文证明了,NIC-平面图$G$有$\rho_5(G)>\frac 1{73}$.

本文研究了一类时间尺度上漏项中具有变时滞的中立型模糊BAM神经网络.利用时间尺度上线性动力学方程的指数二分法,Banach不动点定理和时间尺度上的微积分理论,得到了这类模糊BAM神经网络在时间尺度上概周期解的存在性和指数稳定性的充分条件.

在全波形反演过程中,二阶梯度信息扮演着重要的作用.然而,由于其巨大的计算量和内存需求,限制了其在全波形反演问题中的应用.本文基于MINRES-QLP方法提出了一种高效的截断牛顿全波形反演方法.该全波形反演方法能够充分利用目标泛函的二阶梯度信息,提高反演精度.MINRES-QLP反演方法还能够利用Hessian阵负特征值信息,从而提高算法的重构分辨率和计算效率.针对Hessian阵计算难题,本文给出了一种矩阵向量相乘的快速算法.基于二维2004 BP模型,Sigsbee模型,验证了MINRES-QLP截断牛顿反演方法的有效性.数值结果表明MINRES-QLP截断牛顿法能充分利用二阶梯度信息和Hessian阵负特征值信息,从而加速算法收敛速度和提高成像精度.

图的（列表）动态染色模型可用于解决信道分配中的一些关键问题，是图论和理论计算机科学领域的一个重要的研究方向.Kim和Park （2011）给出了任何最大平均度小于8/3的图的列表动态色数至多为4的证明.然而，由于具有5个顶点的圈$C_5$的最大平均度为2且列表动态色数为5，因此Kim和Park的上述结论是错误的.基于此，本文证明了任何最大平均度小于8/3的普通图（每个连通分支都不与$C_5$同构的图）的列表动态色数至多为4，且该上界4是最优的，从而对Kim和Park的结果进行了修正.与此同时，本文证明了如果图$G$是系列平行图，则当其是普通图时，其列表动态色数至多为4，且该上界4是最优的，当其不是普通图时，其列表动态色数恰好为5，从而将Song等人（2014）的结果"任何系列平行图的列表动态色数至多为6"进行了改进.

非参数空间动态模型作为一类能同时处理回归分析中的空间非平稳性和空间依赖性现象的建模技术, 在多类问题的研究中得到了广泛的应用. 本篇将重点讨论当因变量中存在分层结构情形时的空间变系数模型. 通过截面极大似然方法给出模型估计, 并通过AIC准则将模型参数和非参数分量加以识别. 证明了估计量的一致性和渐近正态性, 蒙特卡洛数值模拟表明: 在有限样本时该模型及方法是有效的. 在对我国地方经济社会发展集聚性与差异的应用研究中, 省内城市之间的经济发展空间溢出效应大于省边界城市之间的溢出效应, 这两种空间溢出效应都是不可忽视的; 此外, 对外贸易和城镇化率对经济发展的影响不随着空间位置而发生变化, 而其他影响因素, 包括: 人口密度、人力资本、储蓄水平、产业结构、政府干预、社会需求和公路密度对经济发展的影响存在显著的空间异质性.

本文研究具有随机多群体SIRI传染病模型的动力学行为. 首先建立一类具有随机白噪声的多群体SIRI传染病模型, 并给出模型正解的全局存在唯一性; 然后, 借助基本再生数和不可约矩阵性质, 通过构造一系列新的Lyapunov函数, 我们获得随机模型的解分别在时间均值意义下围绕无病平衡点和地方病平衡点做随机振动的渐近行为, 并给出随机振动的幅度估计; 进一步地, 我们得到了系统的平稳分布和遍历性, 所得结果推广和改进已有工作.

非线性发展方程在工程技术领域有广泛的应用，求非线性微分方程的精确解一直是其中的重点和难点.目前已经提出了许多求解方法，如反散射方法、李群方法、Backlund变换方法及一些直接展开方法，包括双线性方法、混合指数法、齐次平衡法、双曲函数展开法、Jacobi~椭圆函数展开法等.本文在试探方程法的基础上提出了耦合试探方程法，求解了一个描述具有不同色散关系的两个长波相互作用的Hirota-Satsuma耦合KdV方程组，再借助多项式完全判别系统给出了该方程组行波解的分类，得到了四组孤立波解，两组不连续周期解和七组Jacobi椭圆函数解.通过与其他文献的比较，我们得到的解包括其中的一些解，并且得到了用其他方法目前尚未得到的新解.

本文给出了模糊映射不动点的一个存在性定理,并应用有限理性研究的统一模式,研究了一类特殊的模糊不动点问题的稳定性,即在有限理性框架下证明了当模糊映射和可行集发生扰动时,在Baire分类意义下大多数模糊不动点问题都是稳定的.更进一步,在一定条件下给出了有限理性下模糊不动点问题的逼近定理,为关于模糊不动点问题的求解算法提供了理论支持.

本文研究了一类非线性项带导数的p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性和多解性. 首先, 利用分数阶微分方程和边值条件给出了该边值问题的Green函数, 然后利用Guo-Krasnosel'skii's不动点定理和Leggett-Williams不动点定理得出该边值问题一个或者三个正解的存在性结论. 作为应用, 给出两个例子验证了结论的适用性, 特别是, 用迭代法进行了逼近模拟, 给出解的图形. 值得一提的是此文研究的微分方程的非线性项是带有Riemann-Liouville型分数阶微分.

图$G$的边分解是指将$G$分解成子图$G_1,G_2,\cdots,G_m$,使得$E (G)=E (G_1)\cup\cdots\cup E (G_m)$,且对任意$i\neq j$,有$E (G_i)\cap E (G_j)=\emptyset$.若一个森林的每个连通分支都是路,则称该森林为线性森林.图$G$的线性荫度$la (G)$是指使得$G$可以边分解为$m$个线性森林的最小整数$m$.本文证明了$\Delta (G)\ge15$的IC-平面图$G$的线性荫度为$\lceil\frac{\Delta (G)}{2}\rceil$,这里$\Delta (G)$是图$G$的最大度.

本文基于调和平均点建立了一种新的单元中心型有限体积格式,用以求解非定常扩散方程.在网格边上离散法向流时,选择该网格边两端点和该边上的一个调和平均点作为辅助插值点,并将这些辅助插值点上的未知量用网格单元中心点的未知量进行替换,最终得到一个只含网格单元中心未知量的有限体积格式.该格式满足线性精确性质和局部守恒性,且适用于任意多边形网格.在六种不同的多边形网格上进行四个数值实验,分别考虑扩散系数是连续的和间断的以及非线性的情况,数值结果表明:本文所构造的格式在六种网格上的$L^2$误差均可达到二阶收敛精度,对于不同类型的扩散系数,该格式保持良好的鲁棒性,并且从编程实现的角度来说,该格式更易于向三维情况推广.

本文研究带有脉冲的Liénard方程的周期解的存在性问题.我们通过分析Poincaré映射在脉冲点处的变化特征,利用Poincaré-Bohl不动点定理证明：在一串脉冲点于时间轴上具有周期分布特征的情况以及适当的脉冲条件之下,如果位势函数满足Lipschitz条件,而强迫项又是周期函数，则Liénard方程$x''+f (x) x'+g (x)=p (t)$仍然保持周期解的存在性.另外,我们给出了一个具体的Liénard方程例子,来佐证本文中主要结果的有效性.

考虑到年龄在疾病感染和流行过程中的作用和影响, 本文建立了具有一般感染率的年龄结构传染病动力学模型. 利用Hille-Yosida算子及相关理论, 分析了模型平衡点的稳定性及平衡点失稳时周期解的存在性和分支问题. 通过在平衡点处对模型系统的线性化处理, 讨论了当基本再生数R₀>1 时特征方程根的分布情况, 研究了免疫年龄扰动导致地方病平衡点失稳从而产生局部Hopf分支的条件. 同时选取临界免疫年龄为分支参数, 利用数值模拟显示了一定参数取值下免疫年龄对模型动力学性态的改变和影响.

在统计推断里，参数估计的好坏很大程度上依赖于抽样设计，所以有效的抽样设计将是一项重要的研究课题.本文分别在简单随机抽样（SRS）和动态极值排序集抽样（MERSS）下研究了Rayleigh分布中参数的无偏估计，最优线性无偏估计（BLUE），极大似然估计（MLE）和修正MLE.数值结果显示MERSS估计比SRS估计更有效.

本文使用变分方法研究了一类如下双相问题正解的存在性：\begin{cases}-\operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-2} \nabla u+a(x)|\nabla u|^{q-2} \nabla u\right)=\lambda V_1(x)|u|^{\alpha-2} u-\mu V_2(x)|u|^{\beta-2} u, & x \in \Omega, \\ u=0, & x \in \partial \Omega,\end{cases}其中$N\geq 2$, $1<p<q<N$, $\alpha,\beta,\lambda,\mu$是正常数，$V_1\in L^{s_1}(\Omega)$, $V_2\in L^{s_2}(\Omega)$是权函数且$V_1$允许变号的，$V_2$是非负的.

来源于不同总体的数据异质性较大,数据“零取值”较多且离散度大,可利用零膨胀泊松(ZIP)混合回归模型建模分析,然而混合模型中自变量较多.为了筛选出重要变量,本文利用自适应LASSO对ZIP混合回归模型进行变量选择,即在似然函数中加入惩罚项,再利用EM算法估计参数.通过模拟,验证了该方法在变量选择和参数估计中的有效性.同时,将ZIP混合回归模型应用于预测借贷失败次数的实际数据分析,筛选出对借贷失败有重要影响的因素.最后,通过比较各模型的预测效果,得到ZIP混合回归模型优于泊松(Poisson),负二项(NB)和ZIP回归模型.

为探究影响海洋生态系统稳定性的空间驱动因素, 本文在生态系统层面上构建了一类综合考虑海洋生物生长、代谢、繁殖、死亡以及扩散和适应度趋化性粒径谱模型. 利用傅里叶分析、稳定性分析等相关理论, 研究了模型的平衡解以及影响系统稳定性的空间因素. 通过参数估计和基于傅里叶变换的数值模拟, 结果表明, 扩散对系统起到了稳定性的作用, 而适应度趋化性起到了不稳定的作用, 二者具有明显的非对称性, 且前者占据主导地位. 当平衡解失稳时, 系统会出现随时间变化的空间模式, 尤其是在时间方向呈现行波解. 结果揭示适应度趋化性可能是构成海洋生态系统空间模式的一种重要机制.

在一些有限格Bn, Dn, $\mathop \Pi \limits_n $中, 利用组合系数的方法分别给出了它们的秩生成函数和<Dn的特征多项式. 在有限典型群子空间轨道生成的格中, 利用典型群理论和计算法给出在 GLn(Fqn), Sp2ν(Fqn), Un(Fq2n) 作用下子空间轨道生成格的秩生成函数和特征多项式, 并且给出这些格的Poincaré多项式的定义, 确定了它们的表示式.

研究了DC型养老金经理在损失厌恶和有限期望损失约束下的最优投资组合问题. 利用凹化方法得到了基于有限期望损失约束下的DC 型养老金的最优财富过程的解析表达式, 并进一步比较了在前景理论框架下有限期望损失约束和VaR 约束对最优投资行为的影响. 虽然在凹效用最大化问题中, 当经济非常萧条时, 有限期望损失约束下所发生的损失要低于VaR约束下所发生的损失, 从而使得有限期望损失约束被认为是一个比VaR约束更有效的风险管理方法, 但是在本文所考虑的非凹效用最大化问题中, 理论与数值结果表明, 当保护水平不是太高时, DC 型养老金的最优财富在有限期望损失约束下具有与VaR 约束下相同形式的表达公式, 也就是说, 有限期望损失约束与VaR 约束存在着等价关系. 因此, 在非凹效用框架下, 基于有限期望损失约束的风险管理并不比基于VaR 约束的风险管理更具有优势, 对于损失厌恶型的投资者, 需要设计其它有效的风险管理方法来更好地改进对DC 型养老金计划的风险管理.

本文主要研究一类带有多项分数阶Caputo导数的非线性随机微分方程初值问题的解的适定性. 具体地, 首先把多项分数阶随机微分方程等价地转化为随机Volterra积分方程; 然后, 给出了该随机积分方程的Euler-Maruyama (EM)格式; 最后, 借助于该EM格式, 证明了多项分数阶随机微分方程的解的适定性.

本文求解了一类半定二次规划的逆问题.具体可描述为在保证一个可行的解是原半定二次规划问题的最优解的前提下，使目标函数中的参数以及约束条件中右端项参数与它们的估计值的距离最小.我们将该逆问题转换为具有线性约束和半正定锥互补约束的问题.再利用对偶理论，又将上述问题转化成只有半正定锥互补约束的问题，但此时也是一个难问题，通过引入一个非光滑的惩罚函数来惩罚互补约束，进而将原问题转化为一个DC问题.再采用序列凸规划方法来求解它，同时给出惩罚方法以及序列凸规划方法的收敛性分析.最后的数值实验表明我们采用的方法对于本文提出的问题求解还是非常有效的.