为了解决矩阵自回归模型 (MAR) 最小二乘估计易受到异常值或厚尾分布误差影响而偏离真值的问题, 本文针对损失函数进行改进, 基于投影方法和迭代最小二乘法, 提出了求解MAR 模型稳健估计的RE-PROJ 和RE-ILS 方法. 两种方法均在构造估计量的过程中使用了M估计的思想, 模拟数据显示上述两种方法能够更好抵御异常值对参数估计的影响. 本文进一步讨论了MAR(p) 模型进行阶数选择的BIC 准则以及矩阵观测值存在相关性时带有减秩假定的稳健估计方法. 实际分析结果表明, 在异常值较多或尖峰厚尾的矩阵值观测数据中, 本文提出的稳健估计相较最小二乘估计, 在拟合和预测方面更具有优势.

BAR(broken adaptive ridge)方法是一种最新的替代$L_0$惩罚回归方法. 基于重加权的$L_2$惩罚, BAR惩罚同时拥有$L_0$和$L_2$两种惩罚各自的优势, 避免了分别使用这两种惩罚时存在的缺陷. 本文将BAR方法扩展到具有稳健损失函数的线性回归模型, 并使用坐标下降算法对参数进行估计. 为刻画所提出方法的稳健性, 我们给出了稳健BAR估计的影响函数. 在适当条件下, 我们在理论上建立了BAR估计的变量选择相合性和Oracle性质. 我们把所提出的方法与其他已有的方法通过数值模拟和实际数据的分析比较, 进一步验证了新方法在稳健性和变量选择的表现上更具有有效性.

本文考虑了含有$l_1$范数优化问题的求解方法, 此类问题在压缩感知等研究领域有广泛应用. 基于光滑函数，文中给出了一种新的求解此类含有$l_1$ 范数优化问题的共轭梯度法. 在一般条件下分析了算法的全局收敛性，相关的数值结果也表明了算法的有效性.

大数据时代的信息采集能力为时间序列分析带来了更多复杂的数据结构. 矩阵值时间序列常见于宏观经济、金融和管理领域,表现为多个位置多个指标的连续观测. 矩阵自回归模型具有双线性结构和较少的参数个数, 在模型表达和预测方面均优于向量自回归模型. 然而, 矩阵自回归模型仅包含时间维度的预测结构, 未涉及空间维度的预测结构, 因此本文加入含有空间权重矩阵的空间滞后回归项, 提出矩阵值时间序列的时空滞后回归模型. 本文为每个位置和每个变量赋予尺度参数和调整参数, 用于检验空间预测效应是否存在. 由于提出的模型没有内生性问题, 本文采用部分迭代最小二乘法获得良好的参数估计, 给出模型阶数选择的BIC准则和减秩估计, 并针对残差项厚尾分布的数据特征, 提出基于Huber损失函数的稳健估计方法. 模拟数据显示随着样本量的增大, 估计量的偏差和方差逐渐减小. 实际数据说明, 本文提出的模型具有适中的模型复杂程度和最小的样本外预测误差.

修正晶体相场模型是一类六阶非线性广义阻尼波动方程. 首先, 基于Crank-Nicolson格式, 利用降阶方法对方程建立线性化隐式差分格式. 非线性项通过二阶外推方法进行处理. 其次,利用能量分析方法和数学归纳法, 对差分格式进行理论分析, 证明差分格式的唯一可解性及$L^{\infty}$范数下的收敛性.收敛阶在时空方向均为二阶.最后, 数值算例表明差分格式的有效性及数值收敛阶在$L^{\infty}$范数下达到二阶.

该文建立一类具有抗病毒药物周期治疗的HIV时滞微分方程模型来研究HIV在宿主体内的阈值动力学. 为了研究病毒逆转录和芽殖过程对HIV感染进程的影响, 通过引入两个时间依赖的潜伏期去分别刻画病毒逆转录期和芽殖期.首先, 利用泛函微分方程理论研究了模型的适定性包括周期解的全局存在性和系统的耗散性; 其次, 利用周期传染病仓室模型基本再生数定义再由下一代再生算子确定出模型基本再生数$R_0$; 最后, 讨论了系统的全局动力学行为. 具体地, 利用一致持久性理论证明了当$R_0>1$时HIV在宿主体内的感染和复制是持久存在的, 当$R_0<1$时系统无感染周期解是全局吸引的, 即HIV在宿主体内最终会被消除的.

本文说明了白噪声驱动的非自治随机时滞格点方程的 解 生成共环. 进行了一致估计，尾估计，并证明该系统存在拉回随机吸引子. 最后证明了时滞动力系统的随机吸引子当时滞和特定参数同时收敛时的二重上半连续性.

基于金融市场高频价格数据, 我们提出其市场微观结构噪声的日历效应估计. 据我们所知, 本文首次建立了估计的相应渐近理论以及给出了相应的统计推断方法. 该理论有助于我们更加深刻地认识市场微观结构噪声的性质, 进而有助于我们更好地认识市场的运行机制和其价格发现功能.

本文借助于Riemann-Hilbert (RH) 问题研究修正Korteweg-de Vries (mKdV)方程, 给出一种有效方法来获得快速衰减初值空间下的孤子解. 在正散射过程建立 Jost函数和散射矩阵重要性质来构建一个合适的RH问题, 进而建立mKdV方程的解和RH 问题解之间的关系. 在反问题过程中, 考虑了两类散射数据, 包括简单零点和二阶零点, 以及求解相应的RH问题, 成功构建在这两种情形下mKdV方程的显示解. 最后, 结合具体参数, 详细分析了几类孤子解的传播行为.

结合传染病传播过程中的时空扩散效应, 考虑Holling-IV发生率, 建立了含有潜伏期、饱和治愈、二次感染、游离病毒的传播及空间扩散等因素的SEIAV传染病模型. 得到R₀ < 1时模型的无病平衡点的稳定性以及R₀ > 1时地方病平衡点的持续存在性, 并进一步讨论了R₀ = 1时模型无病平衡点全局吸引性. 利用算子半群理论证明了模型的适定性, 同时还构造了特征值问题, 利用主特征值存在的特性给出基本再生数的一般计算方法. 最后通过数值模拟, 验证了空间扩散的传染病模型传播的影响.

分数阶微分方程作为整数阶微分方程的推广, 近年来被广泛应用于科学和工程领域, 从而受到越来越多学者的关注. 本文提出一种新型Crank-Nicolson有限体积方法求解具有Dirichlet齐次边界的Riesz空间分数阶对流-扩散方程. 为了得到Riesz空间分数阶对流-扩散方程的离散格式, 在时间层上, 利用Crank-Nicolson方法对一阶时间偏导数进行离散. 在空间层上, 利用有限体积法近似对流项的一阶空间偏导数和扩散项的Riesz空间分数阶偏导数. 更进一步, 我们也得到了该Crank-Nicolson有限体积离散格式的稳定性和收敛性两个主要理论结果. 证明了该离散格式是无条件稳定的, 以及在离散$L_2$-范数下的收敛阶为${\mathcal O}(h^2+\tau^2)$, 其中$h$和$\tau$分别为空间和时间上的步长. 最后, 通过数值试验验证了该离散格式理论结果的正确性.

基于微分方程数学模型的药物动力学的理论研究在药物研发、临床给药方案设计等方面具有重要的作用. 本文通过考虑具并行一级和饱和希尔(n=2)双通道消除的单仓室非线性药物动力学模型, 研究了周期静脉注射用药下的稳态药物暴露量和稳态平均血药浓度的变化规律. 首先, 本文从理论上证明了任意给药方案下脉冲微分方程模型稳态周期解的存在唯一性, 并严格推导了两个重要药动学指标的计算公式: 稳态药物暴露量和稳态平均血药浓度. 其次, 运用数值模拟和理论证明, 预测了不同给药方案下的稳态平均血药浓度的变化趋势. 不同于现有的具一级和米氏消除通道的非线性药物动力学模型的单一趋势, 本文模型结果显示随着给药频率的增加, 稳态平均血药浓度呈现多样化变化趋势: (i)单调递减趋于极限值; (ii)单调递增趋于极限值; (iii)先递减后递增趋于极限值. 最后, 通过对重组粒细胞集落刺激因子的实际药物非格司亭(Filgrastim)的案例分析, 本文给出了不同给药方案下的稳态平均血药浓度的数值解析表达式并定量计算了相应的稳态平均血药浓度和稳态最低血药浓度.

自然界中几乎不存在简单的线性动力学系统, 大多数都是以非保守非线性动力学系统的形式存在, 而非标准Lagrange函数可以用于非保守非线性问题的动力学建模. 同时, 分数阶模型也是研究复杂动力学及物理行为的较好选择. 因此本文研究了广义分数阶算子下非标准Lagrange系统的Noether对称性与守恒量. 首先, 建立广义分数阶算子下非标准Lagrange 系统的Lagrange方程, 然后基于Hamilton作用量在无限小变换下的不变性, 建立广义分数阶算子下非标准Lagrange系统的Noether定理, 并给出该系统的对称性及相应的守恒量. 在特定条件下广义分数阶算子下非标准Lagrange系统的Noether守恒量可以退化为整数阶非标准Lagrange系统的Noether守恒量, 最后举例说明所得结果的具体应用.

研究了在$\mathbb{R}^3$中有界区域内的多孔介质中相互作用的Brinkman-Forchheimer流体与Darcy流体方程组解的结构稳定性, 假设在$\Omega_1$中流体速度较慢, 满足Brinkman-Forchheimer方程组, 而在$\Omega_2$ 中, 饱和流体满足Darcy方程组. 借助于温度的四阶范数估计以及Sobolev不等式, 构造能量表达式, 推出该表达式所满足的微分不等式, 积分得到了相互作用Brinkman-Forchheimer与Darcy流体方程组的解对Brinkman系数的连续依赖性结果.

预见控制能够利用已知的未来目标值信息或干扰信息来改善控制系统性能, 重复控制将人类的学习机制引入控制系统, 它们都在众多实际工程领域得到很好的应用. 当目标值信号为周期信号且可预见时, 针对一类变时滞参数不确定系统, 本文考虑变时滞系统的预见重复控制问题. 首先, 引入重复控制器、采用预见控制理论中误差系统的方法及离散二维模型, 建立包含未来目标值信号信息的二维扩大误差系统, 将原系统的预见重复控制器设计问题转化二维扩大误差系统的输出反馈控制问题; 然后, 针对二维扩大误差系统, 考虑输出反馈时, 改造输出方程、融合可预见信号的未来信息和重复控制器. 利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式技巧给出系统渐近稳定的条件及预见重复控制器的设计方法. 最后两个仿真实验验证了该方法的有效性.

本文研究了一类具有阻尼项的二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性问题, 通过利用广义的Riccati变换技术和一些特殊技巧, 在非正则条件下得到了该方程新的振动准则, 改进, 推广和统一了若干最近文献中的振动结果. 最后通过实例验证了本文结果的适用性.

由于观测噪音的影响, 现有的绝大多数扩散模型波动函数的识别检验在高频环境下会失效. 本文采用局部平均方法对存在观测噪音的数据进行平滑处理, 基于平滑后的观测值, 结合条件矩和非参数核估计方法构造U 统计量对扩散模型波动函数进行识别. 所构造的检验统计量在波动函数形式设定正确时, 收敛到标准正态分布. 蒙特卡罗模拟结果显示, 与现有检验方法相比, 该统计量具有更合理的检验水平和更强的检验功效. 将构造的检验统计量应用于中国银行股价对数化序列的识别过程, 得到更为合理的检验结果.

为探究云杉蚜虫周期性爆发的影响因素, 本文在纽曼边值条件下提出了一类具有Holling II型功能性捕食函数的时滞扩散云杉蚜虫模型. 众所周知, 自然界中种群的演化不仅依赖现在的状态, 而且还依赖过去的状态. 这意味着, 考虑时滞能更好地反映生态系统中的某些现象. 为此, 以时滞为参数, 利用特征方程和分析技巧研究了该模型正平衡点的稳定性和单个时滞、两个时滞分别诱发Hopf分支的存在性问题. 最后, 通过数值模拟, 获得了该模型稳定的周期解, 这为云杉蚜虫的周期性爆发原因提供了理论指依据. 此外, 结果表明两个时滞诱发Hopf分支发生的时滞临界值要比单个时滞情形要小.

本文用混合有限元方法研究一般的非线性湿气迁移方程.利用双线性元,$Q_{11}$ ,和零阶,Raviart-Thomas 元, ($Q_{10}\times Q_{01}$) 证明方程的超收敛性. 利用这两个单元插值算子的性质和平均值技巧, 得到了方程半离散格式的, $O(h^2 )$, 阶超收敛结果. 对于方程线性化的, Crank-Nicolson,(C-N) 全离散格式,,得到了具有, $O(h^2+\tau^2)$, 阶的超收敛结果, 这里, $h$ 是空间剖分参数, $\tau$ 是时间步长.该方法说明如果线性化问题有超收敛性, 那么对应的非线性问题有同样的超收敛性.最后, 给出数值算例, 证实了理论分析的正确性和方法的有效性.

图$G$的3-彩虹控制函数是指从$G$的顶点集$V$到集合$\{1,2,3\}$的幂集的映射$f$,使得任意满足$f(v)=\varnothing$的顶点$v$均有$\bigcup\limits_{u\in N(v)}f(u)=\{1,2,3\}$成立,其中$N(v)$是顶点$v$的邻域.图$G$的3-彩虹控制函数$f$的权为$\sum\limits_{v\in V}|f(v)|.$如果$f$既是图$G$又是其补图的3-彩虹控制函数, 则称$f$为图$G$的全局3-彩虹控制函数.图$G$的全局3-彩虹控制数是指$G$的全局3-彩虹控制函数的最小权.通过对图的结构分析,利用分类讨论法完全刻画了全局3-彩虹控制数等于顶点数的所有图.

本文主要引入系统关于叶集(叶层)拟跟踪性的拓扑定义, 并在黎曼流形上得到该定义与通常意义下系统关于叶层拟跟踪性的定义是等价的. 同时, 我们分别在紧致完全不连通Hausdorff空间上和黎曼流形上讨论了系统关于叶集(叶层)的拟跟踪性和有限型移位序列的逆极限之间的联系. 此外, 我们还给出了因子映射保持拟跟踪性的一个充分条件.

在本文中, 我们研究一类带有恐惧效应时滞的捕食者-猎物系统的动力学. 首先我们讨论解的正定性, 有界性与持久性, 其次基于中心流形定理与正规形, 我们研究由恐惧效应时滞引起的Hopf分岔. 进一步, 我们讨论分岔周期解的全局存在性. 最后给出数值模拟以支持我们的结论.

为了处理空间数据同时存在的空间异质性和空间相关性,本文考虑了一类空间误差自相关GWR模型.该模型被视为经典GWR 模型和空间误差模型的有效融合.由于模型中误差项的空间滞后项引起的内生性问题,使用现有的GWR模型的估计方法无法得到参数的一致估计.为此,本文结合局部线性估计和截面最小二乘估计的思想,提出一种新的模型估计方法.讨论了估计量的渐近性质, 通过数据模拟评估了所提方法在有限样本下的性能,并将本文的方法和已有的方法进行比较. 数据模拟结果表明, 本文的方法能够更准确地估计模型参数和系数函数.最后通过一个实证案例来说明所提方法的实用性.

该文的主要目标是研究一类带有参数的非线性电报方程组. 根据参数不同的取值, 作者应用紧算子不动点指数理论证明了一类非线性电报方程组正双周期解的存在性、多重性和非存在性.

研究一类具非标准增长条件和零阶项的椭圆方程弱解的存在性.主要使用的工具是偏微分方程中的弱收敛方法和Young测度方法. 从方程的扰动问题出发,根据方程零阶项的条件和源项的可积性, 选取一些合适的检验函数, 进行一些必要的先验估计以及与取极限有关的估计.借助于Young测度方法确定了非线性项的弱收敛元. 通过取极限得到解的存在性.

研究一类带有乘性噪声的随机发展方程. 在获得随机发展方程的解收敛到Wong-Zakai逼近方程的解后, 使用指数鞅技术、Kallianpur-Striebel公式和Itô公式,证明随机发展方程及Wong-Zakai逼近方程在带有色噪声的观测系统中所产生的非线性滤波的收敛行为, 进一步得出具体收敛速率.

本文提出了一种基于$L_{2}$范数和Spearman相关性系数的检验高维时间序列的序列相关性和自回归条件异方差效应的假设检验方法. 本文研究了所提的统计量的渐近性质, 并提出了一种基于自助法的计算临界值的方法, 证明了所提假设检验方法可以控制第一类错误的概率. 我们的假设检验方法是维数自由的, 即对数据的维数没有要求, 从而可以用于高维时间序列的情况, 同时本方法对数据的尾部性质没有要求, 从而可以用于重尾的情况. 我们使用了数值模拟和实际数据来说明本文所提方法的有效性.

基于空间异质性, 无症状感染宿主和病原体传播途径的多样性, 提出一类具有无症状感染宿主和多种感染途径的反应扩散宿主- 病原体模型, 并利用半群理论, 讨论模型全局正解的存在性与唯一性. 进一步, 根据下一代算子的谱半径方法给出模型的基本再生数$\mathcal{R}_{0}$, 并用其刻画了疾病的灭绝性和持久性. 即, 如果$\mathcal{R}_0 < 1$, 无病稳态是全局渐近稳定的; 而如果$\mathcal{R}_0>1$, 疾病是一致持续的且模型至少有一个地方病平衡态. 此外, 通过构造合适的Lyapunov函数, 证明空间匀质环境下模型无病平衡态和地方病平衡态的全局渐近稳定性. 最后通过数值模拟解释主要的理论结果并探讨扩散速率对感染宿主分布的影响.

在WOD序列下分别考虑了风险价值VaR和条件风险价值CVaR的估计. 研究了VaR样本分位数估计的Bahadur表示以及强相合性. 同时, 对条件风险价值CVaR估计的强相合性及其收敛速度进行研究, 通过选取适当的参数其收敛速度接近于 $O(n^{-\frac{1}{2}})$. 为了说明所得的VaR和CVaR估计的理论结果, 我们分别利用ARMA(1,1)模型和MA(1)模型产生的WOD随机数进行了数值模拟, 通过VaR和CVaR相应的真实值和估计值曲线图对理论结果的有效性进行了验证.

在大数据环境下, 由于计算机的存储, 计算能力和安全隐私等问题, 传统的集中式方法不再可行, 因此本文基于矩的分布式估计构造了一般参数的分布式估计框架. 首先将待估参数表示为多个矩的函数形式, 其次对每个矩参数通过简单平均的分布式框架获得其无偏估计, 最后将矩参数的分布式无偏估计带入聚合函数得到待估参数的最终估计量. 从理论上证明了在一般的条件下, 本文估计量的概率收敛界与集中式估计同阶并且具有渐近正态性. 模拟实验验证了本文估计量与集中式估计量具有相近的统计性质, 同时表现出更优异的计算效率.

考虑了通过半无穷柱体的Kelvin-Voigt流体, 其中Kelvin-Voigt流体在柱体的侧面上满足齐次边界条件. 利用能量估计和先验估计的方法, 证明了应变能随距柱体有限端的距离指数式衰减性质. 这种类型的结果可看作Saint-Venant原理型的"距离效应".

本文基于期望效用最大化准则, 研究再保险和投资问题. 市场上有一个保险人和一个再保险人. 通过使用外推偏差法, 得到索赔相依下的保险模型. 通过最大化保险人和再保险人各自财富的加权, 体现他们的共同利益. 在模糊厌恶框架下, 建立鲁棒随机优化问题. 利用随机控制和随机动态规划理论求解鲁棒随机优化问题, 得到鲁棒最优再保险和投资策略的显式解. 最终, 通过数值实验解释模型参数对鲁棒最优再保险和投资策略的影响, 并指出研究结果的实际指导意义.

本文考虑一个具有Bernoulli检修策略与顾客进入控制策略的$M/G/1$可修排队系统, 其中每当系统变空时依概率$p(0\leq p\leq1)$ 进入检修, 或者依概率$(1-p)$ 不进入检修而是等待下一个顾客进入系统后直接开始服务, 而且在系统的检修期内至多允许$M$个顾客进入. 运用全概率分解技术、更新过程理论和拉普拉斯变换工具, 我们讨论了系统在任意时刻$t$队长的瞬态分布, 得到了队长的瞬态分布关于时间$t$的拉普拉斯变换表达式, 然后应用洛必达法则得到系统稳态队长分布的递推公式, 同时获得稳态队长分布的概率母函数与平均稳态队长的表达式. 最后, 我们使用更新报酬定理导出了系统在长期单位时间内的期望费用表达式, 并通过数值实例研究了使系统的期望费用最小的一维最优控制策略和二维最优控制策略.

研究一类周期环境中基于个体年龄等级结构的种群系统的最优收获问题. 首先, 应用冻结系数法和不动点理论得到状态系统非负有界周期解的存在唯一性, 及共轭系统的适定性. 其次, 利用共轭系统和法锥技巧导出最优收获策略的结构, 运用Ekeland变分原理证明最优收获策略的存在唯一性. 最后, 通过数值模拟验证理论结果的有效性的同时发现系统的其他动力学性质. 本文的结果推广和改进了相关文献的部分结果.

结合非单调线搜索技术与修正的Levenberg-Marquardt算法(L-M算法), 本文提出了一种新的求解非线性方程组的非单调修正L-M 算法. 在新算法的每次迭代中, 引入修正步, 并利用价值函数的梯度范数更新L-M参数. 如果试探步没有被接受, 则采用非单调线搜索技术来获取新的迭代点. 在一定的假设条件下, 证明了该算法的全局收敛性和局部收敛性. 数值实验结果表明, 该算法是可行和有效的.

本文扩展有限多个市场的网络寡头为具有无限多个市场的情形, 将构建具有连续分布市场的网络寡头模型.在完全非合作的假设下, 首先证明Cournot-Nash均衡的存在性. 进一步, 假定厂商集合存在一个联盟结构, 凭借定义联盟成本函数和联盟利润函数, 我们构建了一个基于联盟结构的非合作博弈, 并证明了此博弈中Nash均衡的存在性. 新的网络寡头模型和Nash均衡的存在性证明为本文的主要贡献.

折现Hamilton-Jacobi方程作为接触Hamilton-Jacobi方程的一种特殊形式, 对其研究具有深刻意义。主要研究$\mathbb{T}^n$上时间周期折现Hamilton-Jacobi 方程$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$ 粘性解的收敛性。若$H$是Tonelli型哈密尔顿函数, 关于$t$ 1-周期, 在一定条件下, 该方程有唯一的1-周期粘性解$\bar{u}_\lambda(x, t)$, 本文验证了当$n \rightarrow \infty$时, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_\lambda(x, t+n)=\bar{u}_\lambda(x, t)$, 其中$u_\lambda(x, t+n)$是$u_t+\lambda u+H\left(x, D_x u, t\right)=0$的粘性解。最后以一个具体的时间周期折现Hamilton-Jacobi方程说明了本文的结论。

本文研究了一类平面凸曲线的全非线性曲率流的非坍塌性. 首先, 我们给出了曲线的内、外非坍塌性的定义, 并通过定义一个函数$Z$, 我们证明了曲线内非坍塌性与函数$Z$的非负性是等价的,外非坍塌性与函数$Z$的非正性是等价的. 之后，我们利用极值原理证明了在一定条件下平面凸曲线缩短流保持非坍塌性.

本文主要研究粘性系数依赖于密度的一维等熵可压缩微极流模型解的时间衰减率问题. 对于参数$\alpha,\gamma\in\mathbb{R}$, 考虑压强$p(\rho)=\rho^\gamma$和粘性系数$\mu(\rho)=\rho^\alpha$. 我们首先利用先验假设及一些精细的能量估计, 研究一维等熵可压缩微极流模型Cauchy问题在常数状态扰动下大初值强解的整体存在性与大时间行为. 进一步, 利用反导数和时间加权能量方法, 我们研究流体比容$v(t,x)$和速度$u(t,x)$的时间衰减率.