本文我们研究了设施建设费用为零时的带线性惩罚的$k$-种产品设施选址问题与带次模惩罚的$k$-种产品设施选址问题.在带线性惩罚的$k$-种产品设施选址问题中,每一客户均对应一定的惩罚费用,目标是选择一个开设的设施集合,将一部分客户连接到开设的设施,使得这些客户对$k$种产品的需要均得到满足,同时对另一部分客户进行惩罚,并使得客户连接费用与客户惩罚费用之和最小.针对该问题特殊结构,当$k\geq 3$时我们得到了$\frac{3k}{2}-\frac{3}{2}$ 近似算法.在带次模惩罚的$k$-种产品设施选址问题中,客户的每个子集都对应一定的次模惩罚费用,我们给出了该问题的数学规划模型,结合问题的次模性,利用原始对偶算法,当$k\geq 3$ 时得到了$\frac{3k}{2}-\frac{3}{2}$ 近似算法.

本文考虑目前国内实施的跟踪隔离和筛查措施，以及南京关联疫情外溢情况，基于全国和江苏省疫情报告数据以及百度人口迁徙数据，构建了考虑中国大陆31个省、自治区和直辖市的新冠肺炎传播复杂网络模型.旨在研究疫情发展趋势、防控措施的有效性以及突发性疫情外溢传播风险.首先基于确诊病例、跟踪隔离密切接触者以及外溢省份数量等数据拟合模型，估计了本次疫情的发展趋势和感染规模，探讨了常规防控和应急响应措施对疫情发展态势和防控效果的影响.其次重点研究了给定初始暴发区域时其余地区的外溢感染风险，给出了外溢高风险区域识别方法，以及高风险区域排序.通过与2020年武汉、北京和辽宁疫情外溢情况对比，验证了方法的可靠性，并以此发布各省份高风险输入预警，为后期的突发疫情防控以及外溢风险提供早期预警.

大数据背景下挖掘大规模高维数据所隐藏的信息备受关注.本文主要目的是采用分布式优化方法解决加SCAD和Adaptive LASSO惩罚的高维线性回归中的参数估计和变量选择问题.主要方法是通过构造全局损失函数的一个交互有效的正则化替代损失函数,把基于全局损失函数的优化问题转化为基于替代损失函数的优化问题.本文设计的修正的ADMM算法,在计算上,只需要子机器基于局部数据计算梯度,而主机器进行参数估计和变量选择.在主从机器交互复杂度上,基于替代损失函数所得的估计误差收敛于基于全局损失函数所得的估计误差.通过模拟和实证研究进一步验证本文提出的分布式计算方法在实际生活中的可行性和实用性.

为了发挥模糊理论在不确定性预测中的优势并保留模糊时间序列(FTS)预测模型的可解释性,本文针对目前应用广泛的模糊C均值聚类(FCM)算法进行改进,提出了一种基于布谷鸟搜索的FCM (CS-FCM)算法.将CS-FCM算法用于模糊时间序列模型的非均匀论域划分与数据的模糊化处理,建立一种基于CS-FCM算法的模糊时间序列预测模型.该算法可实现聚类中心的全局寻优,降低传统FCM算法易陷入局部极小值带来的误差,提高模型预测精度.实证分析结果表明,CS-FCM算法的适应度优于FCM算法,本文模型的预测误差小于经典模糊时间序列预测模型,验证了新预测模型的有效性.

作为可度量某数据点相对于给定多元数据集中心化程度的工具,统计深度函数在多元稳健数据分析中发挥着重要的作用.在过去数十年中,许多著名的深度函数被相继提出.然而,现有的这些深度函数主要用于位置情形下的描述性或推断性统计分析,尚难被用于回归情形下的类似分析.鉴于此,本文考虑了如何将现有的深度函数推广至回归情形,并提出了一类新的可助于此类推广的一般回归深度函数.本文最后通过示例展示了所提回归深度的相关性质.

本文基于Lotka-Volterra竞争方程提出了一个包含癌细胞与健康宿主细胞两种细胞群在内的动力学模型,研究了持续化疗对系统稳态解的影响.讨论了该系统达到稳态时,解的三种可能情况:癌细胞与健康细胞共存,癌细胞被根除以及健康细胞被灭活.通过对系统解的进一步理论分析,得到了解的存在性和全局渐近稳定性的充分条件.数值模拟进一步验证了理论结果.同时还发现,系统的稳态解与化疗药物的输注速率和化疗药物对癌细胞的杀伤率有关.研究表明在我们的模型中高浓度的化疗药物有可能完全根除癌细胞,但阈值取决于药物对癌细胞的杀伤系数(不考虑细胞突变及耐药性的产生).而对于癌症治疗而言,加强对癌细胞的杀伤率比提高药物剂量更效.

本文研究了一个具有弱阻尼项和耦合源项的粘弹性波动方程组的初边值问题.首先,在一定的初边值条件下,应用位势井理论证明了解的整体存在.其次,在松弛函数满足一定的条件下,利用能量扰动的方法结合微分不等式技巧证明了解能量的一般衰减性结果.

期权定价是金融数学领域中最复杂的问题之一.随着不确定理论公理化的建立,利用不确定理论进行期权定价的研究逐步展开,而分数阶微分方程的分数阶导数项可以很好地刻画金融市场的记忆特性.本文在机会空间中提出了一种新的不确定市场模型,假设股票价格满足Caputo型的不确定分数阶微分方程,且随机利率满足随机微分方程.基于该模型,利用Mittag-Leffler函数和微分方程的$ \alpha$-轨道我们给出了蝶式期权和欧式价差期权的定价公式及数值例子.

利用Chapman-Kolmogorov等式和基本解矩阵、状态转移矩阵的概念，并结合Floquet理论，研究一类具有多变时滞的非线性中立型微分系统.首先，通过适当的积分变换得到系统解一个新的表达式.然后，利用Krasnoselskii不动点定理，给出了系统周期解的存在性，并在一定条件下构造适当的压缩映射得到该系统周期解的唯一性和零解稳定性的充分条件，改进了已有文献中的相应结果.

本文讨论了一类时标上右端函数为两项和的集值微分方程解的收敛性问题.首先引入时标上集值函数的Hukuhara导数意义下的Δ偏导数概念,并给出了时标上集值微分系统的比较原理.对于所构造的迭代序列,通过利用广义拟线性化方法和分析技巧,得到了上述问题近似解的平方收敛结果.

针对一类特殊的多目标优化问题，其每个目标函数为一个二阶连续可微凸函数与一个真凸但不必可微函数之和，提出了邻近牛顿法.我们引入了带线搜索的邻近牛顿法和不带线搜索的邻近牛顿法.在适当的条件下，我们证明了由这两类算法产生的序列的每个聚点是多目标优化问题的Pareto平稳点.此外，我们给出了它们在约束多目标优化和鲁棒多目标优化中的应用.特别地，对于鲁棒多目标优化，我们证明了邻近牛顿法的子问题可以看作二次规划问题.对此，我们还进行了数值实验，验证了该方法的有效性.

设 $ G$ 是一个无向多重图, $ G$ 的定向直径是指 $ G$ 的所有强连通定向中直径的最小值. Dankelmann, Guo, Surmacs [J. Graph Theory, 2018, 88: 5--17] 证明了 $ n$ 阶无桥图 $ G$ 的定向直径至多为 $ n-\Delta+3$, 这里 $ \Delta$ 是 $ G$ 的最大度. 设$ H$是 $ G$ 的一个生成子图, 定义 $ N_G(H)=\bigcup\limits_{v\in V(H)}N_G(v)\setminus V(H)$, 利用上述结论他们还证明了, 给定边 $ e$ 的无桥图 $ G$ 的定向直径至多为 $ n-|N_G(e)|+5$, 以及给定无桥子图 $ H$ 的无桥图 $ G$ 的定向直径至多为 $ n-|N_G(H)|+3$. 设 $ P_3=uvw$ 是 $ G$ 的一条长为 2 的路. 易见 $ P_3$ 包含两条边且这两条边均是 $ P_3$ 的桥. 本文利用将一条路收缩为一点的方法证明了给定 $ P_3$ 的无桥图$ G$ 的定向直径的上界为 $ n-|N_G(P_3)|+5$.特别地, 若 $ P_3$ 在一个 4 圈上或 $ P_3$ 不在一个圈上但 $ uv, vw$ 分别在一个 3 圈上, 定向直径至多为 $ n-|N_G(P_3)|+4$. 最后举例说明了上述上界是紧的.

本文首先定义了理性函数,构造了有限理性模型,研究了有限理性下种群博弈NTU核的稳定性;其次,又进一步定义了种群博弈另一种合作均衡即强均衡的概念,并且采用类似的方法研究了有限理性下该强均衡的稳定性.研究结果表明:在我们所构造的有限理性模型框架下,对大多数的种群博弈(在Baire分类意义下)其NTU核和强均衡都是稳定的.

基于拟极大指数似然方法,本文研究了利用日内高频数据来估计日频GARCH模型的参数.已有的相关研究均假定GARCH方程中常数项是给定的,限制了方法的广泛应用.本文基于常规的GARCH(1, 1)模型框架,针对模型全部参数给出了两步估计方法,讨论了估计量的理论性质.针对不同的波动率替代,文章也给出了最优波动率替代选择标准.模拟研究和实证研究表明所提估计方法有很好的表现和一定的应用价值.

当前,新型冠状病毒肺炎(COVID-19)在全球大部分地区肆虐,对人类生命安全和社会经济活动带来严峻挑战.新型冠状病毒肺炎的传播强度随时间的变化规律及其影响因素是传染病学家关心的重要问题.基于新型冠状病毒肺炎病例数,本文提出变系数Hawkes过程,分析日本,韩国以及北京市,武汉市新冠肺炎传播强度随时间变化的趋势,评估突发事件和政府采取的干预措施对疫情防控的影响.本文基于样条逼近技术建立半参数估计方法,数值模拟结果表明所提出方法在有限样本下具有良好表现.该研究可为疫情防控提供有益的统计建议.

本文讨论了判断事后分层抽样下生存函数的Kaplan-Meier估计及其大样本性质.此外，基于判断事后分层抽样下各层序的信息，对样本进行保序回归，根据样本中是否存在空层的情况提出了不同的保序Kaplan-Meier估计，并讨论各估计的性质.本文通过模拟对判断事后分层样本下的各种Kaplan-Meier估计以及简单随机样本下的Kaplan-Meier估计进行比较，结果显示判断事后分层抽样比简单随机抽样更有效，并且保序估计方法可以提升估计的效率.

责任准备金的链梯法中索赔进展因子占据着非常重要的作用，它体现了索赔发生后由于报告延迟和索赔延迟导致索赔进展的规律.大部分链梯法都假设进展因子是一系列非随机的参数，从而利用一般的链梯模型对准备金进行估计.然而，由于非寿险中索赔变量的非齐次性，进展因子一般也是随机变量，因而，对进展因子的估计和统计推断落入了贝叶斯框架.本文利用信度理论的思想，在多个索赔三角形数据下，给出了索赔进展因子的非齐次和齐次信度估计.进而，给出了进展因子估计中结构参数的估计，并证明了这些估计的性质，得到了进展因子的经验贝叶斯估计.最后，通过数值比较和实例分析，验证了本文给出的估计在实际中操作方便，且能得到较好的效果.

如果一个图Γ含有一个自同构群G使得它在顶点集V（Γ）上作用半正则且恰好有两个轨道，则称图Γ是群G上的双凯莱图.进一步的，如果G在全自同构群Aut（Γ）中正规，我们就称这个双凯莱图是群G上的正规双凯莱图.本文中，我们证明了绝大多数非交换单群G上的三度点传递双凯莱图都是该群上的正规双凯莱图.

研究了一类具有转向点的奇摄动拟线性边值问题,指出在一定条件下解在转向点\ $t=0$ 呈激波层现象.先用合成展开法构造出问题的形式近似,然后利用衔接法将$t=0$左、右两边分别具有边界层性质的近似式光滑地衔接起来,从而形成在$t=0$处具有激波层性质的解,并应用微分不等式理论证明了解的存在性及其渐近性质.

考虑带交易费用和跳环境，利用混合次分数布朗运动建立了欧式期权定价模型.首先，利用Delta对冲策略，获得了欧式看涨期权所满足的随机偏微分方程.其次，使用自融资策略分别得到欧式看涨，看跌期权定价公式和看涨看跌平价公式.最后，分别采用“上证指数”，“市北B股”和“耀皮B股”的收盘价日线数据，研究表明：跳环境模型比经典B-S模型更加接近真实值.

基于Scarf，Kajii关于n-人非合作博弈中的合作均衡存在性定理，越来越多的研究表明，对非合作博弈的合作均衡研究是有必要的.本文综合Sandholm的群体博弈模型以及Yang和Ju证明的多主从博弈的合作均衡存在性定理，旨在详细研究多主从群体博弈的合作均衡.首先，在多主从群体博弈中引入合作均衡的概念，并通过Kajii的命题2证明其存在性定理.然后，将本文的结论退化为群体博弈的合作均衡存在性定理以及单主多从群体博弈的合作均衡存在性定理.最后，给出群体博弈和多主从群体博弈相应的算例分析.

本文对具有两个时滞的双向环形神经网络系统进行了稳定性分析.首先将系统在平凡解附近进行线性化处理，并得到线性化系统的特征方程，通过因式分解法，将系统的特征方程分解为四个一阶因子.其次，当系统参数在各种不同取值的情形下，通过构造辅助函数讨论了每个因子的零点均为负实部的条件，建立了与时滞相关及与时滞无关的稳定性结论.最后，本文还讨论了当环形神经网络中相邻两个神经元之间的连接被切断后所得的直线型神经网络系统的稳定性，在整个参数空间内全面地分析了系统稳定及不稳定的情况，得出了系统参数所满足的条件.数值仿真结果表明，直线型神经网络系统的参数取值范围更大，即更容易被镇定.

本文研究了一个n维欧氏空间中的凸初始超曲面的各向异性曲率流，其包含了高斯曲率，支撑函数和其梯度的函数.在适当的假设下，我们给出了该流的长时间存在性和收敛性的证明.作为推论，我们给出对偶Orlicz-Minkowski问题解的存在性.

本文研究一类空间异质反应扩散HIV感染模型的最优治疗问题.借助最小化序列技巧确立了最优策略的存在性.随后,通过应用凸摄动理论给出最优控制满足的一阶必要条件.在不考虑末端时刻控制成本的情况下给出了Bang-Bang形式的最优策略.数值模拟验证了同时采取三个治疗策略能够显著降低 HIV病毒以及感染细胞的载量从而有效地控制HIV在宿主体内的感染进程.

列扩展设计是添加试验因素，并安排跟随试验的一个重要方法.本文分别构造了四水平和五水平的列扩展设计，基于平均混合偏差准则研究了该类设计的均匀性，并得到了四水平和五水平列扩展设计的平均混合偏差的一个新的下界.数值例子表明本文中构造的列扩展设计具有非常高的效率.

本文对可行域为不等式约束构成的带洞非凸域上光滑优化问题,通过添加动约束函数的形式,将带洞非凸可行域分割为两个非凸不带洞可行域,讨论了带洞非凸域上优化问题与不带洞两个非凸优化问题KKT点的关系;在非凸不带洞的可行域上,给出了初始点方便选取的动约束同伦算法,证明了同伦路径的存在性,有界性和收敛性,通过数值算例表明该算法是可行的,有效的.

本文构造并研究了一类具有季节交替的n维连续时间Leslie/Gower竞争模型.我们先分析了该模型在一维情形的完整动力学.再利用Diekmann, Wang和Yan发展的离散竞争映射的负载单形理论,证明了该系统存在一个\ssize (n-1)维的吸引R₊ⁿ上所有非平凡轨道的负载单形.

基于Sklyanin的可积边界理论,本文研究了二维可积聚焦非线性薛定谔方程族的可积边界条件.对于偶数阶非线性薛定谔方程,我们给出了一类可积边界条件;通过边界穿衣方法,我们构建了这一类方程在半直线上满足可积边界条件的多孤子解.对于定义在半直线上的奇数阶非线性薛定谔,可积边界方法只能得到该类方程的实退化：即所得方程退化为实方程.

方差最优对冲策略是金融市场中控制风险的重要工具.文章以几何平均亚式看涨期权为例,假设标的资产的价格服从离散时间下的独立增量过程,得到了标的资产价格的Föllmer-Schweizer分解,进而推导出了亚式期权的方差最优对冲策略,以及相应的方差最优对冲误差.该方法可以应用于二因子模型等独立非平稳增量的情况,为投资者、金融机构提供了更有效的计量模型,同时加深了人们对风险管理的认识.

基于具有参数依赖的Lyapunov函数方法及LMI技巧,本文研究一类具有时变参数不确定广义离散时间系统的有限时间预见控制问题.首先,采用预见控制理论中误差系统的方法,引入两个辅助变量和离散提升技术,构造出包含未来目标值信号的信息的扩大误差系统,将有限时间预见跟踪问题转化为扩大误差系统的有限时间稳定性问题;然后,针对所推导的扩大误差系统,考虑输出反馈时,改造输出方程,使其包含可预见信号的信息,通过LMI技巧给出闭环系统有限时间稳定的条件及预见控制器的设计方法.通过求解LMI,即可确定预见控制器增益矩阵.数值仿真表明本文结果的有效性.

在变指数Sobolev空间框架下,研究一类非线性抛物方程弱解的存在性.方程带有非强制项且主部扩散项中的算子并不是严格单调的.在新的泛函结构中,这些特点使得无法直接使用 pseudo-monotone算子理论.运用 Ladyženskaja-Solonnikov-Ural'ceva的时间分片技术,得到了正则化方程解序列的一致能量估计.通过函数空间的嵌入关系,借助于 Simon紧性定理,得到了逼近解序列的几乎处处收敛.利用偏微分方程的弱收敛方法和 Minty的技术,证明了方程弱解的存在性.

在经典破产研究中,许多研究者将盈余过程首次低于某一阈值（通常设置为0)定义为破产事件,这一处理方法简化了研究工作,却忽略了破产事件在现实中的复杂性. Li X, Liu H B, Tang Q H, Zhu J X. Liquidation risk in insurance under contemporary regulatory frameworks. Insurance: Mathematics and Economics, 2020, 93: 36--49采用时齐扩散过程建模保险公司的盈余水平,在考虑破产重整的情况下对保险公司的清算风险进行了概率分析.然而,由于保险公司经营的特殊性,其理赔过程通常是不连续的,需要用带有跳的过程来建模保险公司的盈余过程,另一方面,定义清算事件的三个边界都是正的.考虑到这些因素,本文在指数谱负 Lévy过程下对清算风险进行了概率分析.本文通过引入一个辅助盈余过程,将风险模型转化为谱负 Lévy过程,利用盈余过程的分段强马尔科夫性和谱负 Lévy过程的波动理论,将清算概率和清算时间的拉普拉斯变换的表达式以 scale函数的形式半显示表示.本文最后包含了关于 Pareto分布索赔下的数值结果,这在保险研究领域是非常重要的.

基于逐次二型截尾样本，用Bayes方法估计可靠度R=P（Y<X），并对未观测样本进行预测，其中随机变量X和Y均服从参数未知的BS分布（Birnaum-Saunders distribution）.首先，在不同损失函数下分析BS分布参数和可靠度的Bayes估计.由于Bayes估计不能得到显式表达式，因此采用基于Metropolis-Hastings（MH）抽样的Markov Chain Monte Carlo（MCMC）方法估计分布参数和可靠度.其次，考虑不同损失下未观测样本的Bayes点预测以及给定可信水平下的区间预测.最后使用两组实例进行模拟.

本文研究了一类分数阶随机热方程的传输不等式.这类方程是由高斯噪声驱动的，其中关于时间是白的、关于空间是彩色的.利用Girsanov定理，我们在轨道空间上关于加权的L²范数得到了Talagrand传输不等式.这在一定程度上推广了Boufoussi和Hajji（2018）中的结果.

本文提出一个求解非光滑凸优化问题非精确梯度镜面下降算法.该算法是Allen-Zhu 2016年提出求解光滑凸优化问题梯度镜面下降算法的推广，而且该算法允许目标函数中光滑部分梯度计算和非光滑部分邻近算子计算都存在误差，并且在适当条件下分析了该算法函数值序列的$O，（\frac{1}{k^{2}}）$收敛速度，这里$k$表示迭代数.最后关于Lasso问题和Logistic问题的数值结果表明该算法是有效的.

基于一个新的搜索方向，提出求解一般Fisher市场均衡的线性权互补（LWCP）模型的全牛顿步可行内点算法.运用内点算法中的一个连续可微函数，给出光滑中心路径的代数等价形式，从而得到LWCP的新搜索方向.通过推广线性优化的全牛顿步内点算法，提出求解LWCP的全牛顿步可行内点算法.算法每次迭代运用全牛顿步，无需进行线性搜索，节省计算工作量和内存.证明算法求解线性权互补问题和一般Fisher市场均衡的多项式复杂度.数值算例结果表明算法有效.

格子点集填充方法是基于空间填充设计的思想构造试验域内均匀分布设计点的首选方法.格子点集所引出的空间填充设计方法在超立方体上有很多好的性质，有许多出色的工作对此做了研究和总结.混料试验域比超立方体的情况更复杂且目前研究成果较少.本文通过构造混料试验的格点填充设计，使得均方误偏差与最大距离偏差有显式表达.这里首先给出了混料试验域的剖分方法，然后讨论了混料格点填充及其性质，其次构造了单纯形的保距独立变换与正交性的格点填充设计，给出例子说明方法的有效性.最后提出了可进一步研究的问题.

非线性发展方程在工程技术领域有广泛的应用，求非线性微分方程的精确解一直是其中的重点和难点.目前已经提出了许多求解方法，如反散射方法、李群方法、Backlund变换方法及一些直接展开方法，包括双线性方法、混合指数法、齐次平衡法、双曲函数展开法、Jacobi~椭圆函数展开法等.本文在试探方程法的基础上提出了耦合试探方程法，求解了一个描述具有不同色散关系的两个长波相互作用的Hirota-Satsuma耦合KdV方程组，再借助多项式完全判别系统给出了该方程组行波解的分类，得到了四组孤立波解，两组不连续周期解和七组Jacobi椭圆函数解.通过与其他文献的比较，我们得到的解包括其中的一些解，并且得到了用其他方法目前尚未得到的新解.

图的（列表）动态染色模型可用于解决信道分配中的一些关键问题，是图论和理论计算机科学领域的一个重要的研究方向.Kim和Park （2011）给出了任何最大平均度小于8/3的图的列表动态色数至多为4的证明.然而，由于具有5个顶点的圈$C_5$的最大平均度为2且列表动态色数为5，因此Kim和Park的上述结论是错误的.基于此，本文证明了任何最大平均度小于8/3的普通图（每个连通分支都不与$C_5$同构的图）的列表动态色数至多为4，且该上界4是最优的，从而对Kim和Park的结果进行了修正.与此同时，本文证明了如果图$G$是系列平行图，则当其是普通图时，其列表动态色数至多为4，且该上界4是最优的，当其不是普通图时，其列表动态色数恰好为5，从而将Song等人（2014）的结果"任何系列平行图的列表动态色数至多为6"进行了改进.

本文使用变分方法研究了一类如下双相问题正解的存在性：\begin{cases}-\operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-2} \nabla u+a(x)|\nabla u|^{q-2} \nabla u\right)=\lambda V_1(x)|u|^{\alpha-2} u-\mu V_2(x)|u|^{\beta-2} u, & x \in \Omega, \\ u=0, & x \in \partial \Omega,\end{cases}其中$N\geq 2$, $1<p<q<N$, $\alpha,\beta,\lambda,\mu$是正常数，$V_1\in L^{s_1}(\Omega)$, $V_2\in L^{s_2}(\Omega)$是权函数且$V_1$允许变号的，$V_2$是非负的.