本文研究了集优化问题的适定性与解的稳定性.首次通过将原始集优化问题嵌入到一族具有相同结构的含参数扰动问题中,引入了集优化问题带扰动的广义$m_{1}$-适定性和$m_{1}$-良定概念,给出了两者之间的关系,并分别给出了带扰动的广义$m_{1}$-适定性充分、必要条件和系列特征.引入了集值映射两种新的单调性定义,并由此研究了含参集优化问题的$m_{1}$-有效解映射半连续性和闭性.

本文研究了一类二阶有理差分方程的分岔与混沌问题. 通过线性稳定性分析, 得到了不动点存在和稳定的参数条件, 并利用中心流形定理、规范型定理和分岔理论, 给出了发生鞍结分岔、跨临界分岔、倍周期分岔和Neimark-Sacker分岔时的临界参数值. 为了进一步识别不同情况之间的混沌行为, 我们计算了最大李雅普诺夫指数和分形维数. 通过数值模拟, 说明了本文所得到的结果. 从模拟中, 我们可以看到一些复杂的动力学行为, 如周期倍增级联、周期窗口、极限环、混沌行为等, 有趣的是, 该系统的动力学行为随着分岔参数的选择将呈现一定的对称性.

疟疾是一种由病原体引起的媒介传播疾病. 为了研究空间异质性、媒介偏倚效应和季节性对疾病传播的多重影响,本文提出一个疟疾传播的时间周期反应扩散模型.首先引入该模型的基本再生数$R_{0}$,然后证明如果$R_{0}\leq1$, 则无病周期解是全局渐近稳定的,而如果$R_{0}>1$, 则系统存在全局渐近稳定的正周期解.这些证明运用了单调动力系统定理、周期半流和链传递集理论.数值上研究莫桑比克马普托省的疟疾传播, 验证理论分析结果, 讨论模型中关键参数的影响,并得出忽略人群和蚊子的扩散和媒介偏倚效应会低估疾病传播的风险.外还从数量和分布两个方面分析了医疗资源对疾病传播的影响, 并且得到, 增加医疗资源会降低疾病传播风险, 如果医疗资源是固定的, 那么减少医疗资源分布的差异性会降低疾病传播的风险.

当前,函数型回归模型的相关研究主要建立在均值回归的估计之上.然而,均值回归仅研究协变量对响应变量在条件分布均值位置的影响,无法反映两者在条件分布尾部的关系,这会导致信息遗漏,且易受异常值影响.同时,在空间维度,目前尚无关于部分函数型线性可加模型的相关研究.实际上,变量间的经济关系在空间中更多地呈现出非线性特征,在空间滞后模型中忽视这种非线性关系容易造成模型设定偏误.为克服上述缺陷,本文将参数模型和半参数模型与函数型数据相结合,提出一种全新的部分函数型线性可加空间滞后分位数回归模型.进而,基于函数型主成分分析法和B样条逼近法构建了该模型的工具变量估计方法.在一些正则条件下,给出了模型参数估计量的相合性与渐近正态性,得出了函数估计量的最优收敛速度,并证明了这些估计量的大样本性质.该模型既能反映空间依赖性和函数型数据产生的影响,又能捕捉协变量带来的多个非线性影响,降低了模型误设的风险,解决了维数诅咒问题,具有较高的稳健性.最后,数值模拟和实例应用表明所提模型和方法是有效的.

本文研究了一个新的具有双哈密顿结构的修正CH-KP方程. 通过对解的形式做适当的拟设, 导出了该方程的尖峰孤子解, 双尖峰孤子解, 以及周期尖峰孤子解, 并得到了一种新的不会在1+1维情形下存在的双尖峰孤子解.

该文研究了一类具有饱和恢复率的非局部扩散SEIR时滞模型的行波解.首先,当R₀>1, c> $c^{*}$时,运用Schauder 不动点定理结合极限讨论的方法建立了行波解的存在性,通过构造Lyapunov泛函获得了行波解的渐近边界条件.其次,利用双边拉普拉斯变换证明当R₀>1,0<c<c^*或R₀<1时行波解的不存在性.最后,讨论了时滞、感染者的扩散系数分别对最小波速$c^{*}$的影响. 一般而言,潜伏期越长, 疾病的传播速度越慢.

本文在完全可见情形下对带有故障维修和工作休假的流体排队模型进行均衡策略研究, 其中缓冲器在忙期, 工作休假期和故障维修期三种状态之间交替运行. 运用更新过程理论和常微分方程组的标准型理论揭示了流体水平的纳什均衡行为规律和稳态概率分布, 进而利用经典的拉普拉斯变换导出稳态下缓冲器的平均流体水平. 基于经济学和效用原理构建线性社会收益函数, 通过数值分析找到全局最优止步阈值下社会福利的极值. 考虑以流体全局最优止步阈值和入场单价为联合决策变量构建入场费收益模型, 研究全局最优止步阈值对最大入场费收益的影响. 结合认知无线网络信息传输过程中的节点失效和节点半休眠的特点, 研究相应的参数优化策略和社会收益问题, 对于提升认知无线网络的安全传输性能至关重要, 仿真结果可为无线网络资源的优化配置提供理论支撑.

针对对流扩散反应(Advection-Diffusion-Reaction, ADR)方程数值解的多参数不确定性量化问题，本文提出了一类基于数据驱动低分辨模型的多分辨蒙特卡罗(Multi-fidelity Monte Carlo, MFMC)估计方法. 该方法将有限元法得到的数值解作为高分辨模型, 并通过离散线性方程的POD降维方法与参数空间DEIM插值方法, 分别得到DEIM和POD-DEIM的两类低分辨模型; 最后通过数值实验对方程中多参数不确定度量的均值和敏感性进行分析, 结果表明, 基于数据驱动低分辨模型的MFMC 估计方法, 与标准蒙特卡罗方法(Monte Carlo, MC)相比, 有效地降低了计算成本, 减小了相对均方误差.

在金融数据分析中, 数据通常具有波动率集聚、异方差和非对称的特性, 需要运用偏态分布下的条件异方差模型进行刻画. 本文研究偏正态分布下GARCH模型的贝叶斯统计诊断问题.首先使用格子-吉布斯算法对偏正态分布下的GARCH模型的参数进行估计, 其次在先验、数据以及模型三种扰动情况下, 分别使用贝叶斯因子、$\phi$散度以及后验均值为目标函数, 运用局部影响分析方法进行统计诊断.数值模拟检验了该方法的有效性, 实证部分对雪佛龙股票的周对数收益率进行偏正态分布下的GARCH建模, 验证了贝叶斯局部影响分析方法的优越性.

在本文中, 我们将运用变分法研究如下非齐次非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性$$\begin{cases}i\partial_t\psi+\Delta \psi+|\psi|^{p}\psi+|x|^{-b}|\psi|^q\psi=0, &\quad (t,x)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N, \\\psi(0,x) = \psi_0 (x), &\quad x\in\mathbb{R}^N,\end{cases}$$其中$N\geq3$,$\psi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{C}$,$\frac{4-2b}{N}<q<\frac{4-2b}{N-2}$,$0<b<2$. 当$0<p<\frac{4}{N}$时, 该方程对应的能量泛函具有局部极小结构. 因此, 我们引入一个局部极小化问题, 通过研究该极小化问题极小化序列的紧性, 证明了该极小化问题极小化子的存在性, 最终获得了极小化子的集合是轨道稳定的.

本文研究了部分观察下不同市场结构与不同风险偏好代理人的内部交易模型. 利用条件期望、博弈理论和投影定理等相关知识, 给出了风险市场的均衡特征, 并解释了均衡条件下的相关经济意义. 影响本文市场均衡的因素有三类, 做市商对风险资产的观察精度、内部交易者的风险偏好程度和风险市场的不同结构. 研究表明：(1) 当做市商对风险资产部分观察精度较高时, 市场基本是强有效的；反之, 则对市场公平性起反作用, 甚至会使得内部交易者释放较低的私人信息也能获取较高的期望利润. (2) 在古诺博弈条件下, 风险厌恶型内部交易者是保守交易者, 因此释放信息速度会比较慢. 在主从博弈条件下, 主导者的投资会比较保守, 而跟随者却较为激进. 总之, 古诺博弈有利于风险中性投资者, 而主从博弈却有利于跟随者. (3) 当内部交易者采用常数策略投资时, 随着做市商对风险资产观察精度的降低, 虽然市场流动性和内部交易者剩余信息均会增加, 但是风险资产观察价格压力却缓慢减少.

本文主要研究了带有状态时滞的二维梁方程全局吸引子和广义指数吸引子的存在性, 通过运用Banach不动点定理与算子半群理论证明了具有状态时滞的二维梁方程的温和解的存在唯一性和对初值的连续依赖性, 并结合拟稳定性获得了具有有限分形维数全局吸引子和广义指数吸引子的存在性.

图度量维数问题(MDP)是一类广泛应用于机器导航、化学、网络发现等领域的组合优化问题.本文针对该问题,建立了具有组合特性的通用优化模型,从理论角度刻画了顶点和顶点对之间的分辨关系,提出了图的分辨图和分辨概率分布概念,并确定了一些特殊图类的分辨度概率分布.利用机器学习采样方法,建立了基于强化学习和图卷积神经网络的度量维数近似计算框架.数值实验表明了利用图机器学习算法解决图度量维数问题的有效性.

由于肿瘤的生长过程受到多种内外部因素的影响,并且这些因素往往具有不确定性和随机性,所以在对肿瘤细胞生长进行建模时必须引入这些随机因素的影响.本文考虑前列腺癌雄激素阻断治疗下两种类型肿瘤细胞的动态行为,利用Lévy噪声来刻画细胞数量发生的随机性变化,建立并分析了由Lévy噪声驱动的随机微分方程模型.首先,通过构造适当的Lyapunov函数,利用Lévy随机微分方程的求解公式,证明了模型全局正解的存在唯一性.然后,利用Lévy-Itô'公式,Lévy随机微分方程的比较定理、指数鞅不等式和Borel-Cantelli引理等随机动力学理论和方法,研究了前列腺癌细胞灭绝性、非平均持久性、弱平均持久性和随机持久性等动力学行为.最后,数值模拟进一步验证了理论结果.结合理论分析和数值模拟可以发现,Lévy 噪声强度越大,前列腺癌细胞越容易被清除.

量子Bernoulli 噪声(QBN) 是平方可积Bernoulli 泛函空间和作用于该空间的湮灭和增生算子,它们满足等时的典则反交换关系.随机Schrödinger 方程是描述连续量子测量过程中开放量子系统演化的经典随机微分方程,本文研究了一类具有量子Bernoulli 噪声方法的线性随机Schrödinger 方程的扩散情形,该模型有望在描述开放量子系统与QBN 相互作用的演化中发挥作用.首先,证明了Bernoulli 泛函空间中的一些技术性结论,特别的得到了计数算子的谱分解.接着,以这些定理为主要工具以及Pellégrini 和Mora 等对一般随机Schrödinger 方程的结果,建立了平方可积Bernoulli 泛函空间扩散型随机Schrödinger 方程正则解的存在唯一性定理.最后,证明了扩散情形由非对角可观测量的测量所得离散过程的极限得到,并得到了一些进一步的结果.

生存数据下的改进的幂广义威布尔模型(Adapted Power Generalized Weibull,简称APGW) 是一个由威布尔分布扩展而来的参数模型,比例风险模型、加速失效时间模型等许多流行的生存模型都可以看作这个模型的特例.本文将这一模型推广到复发数据下,对 APGW 模型在复发数据下的性质进行了探讨,并给出了参数的最大似然估计,证明了其大样本性质.同时,我们还给出了基于SCAD惩罚的变量选择方法,推导了变量选择结果的 Oracle 性质.此外,我们针对参数估计和模型选择问题分别做了一些随机模拟,以验证所得大样本性质在有限样本下的表现.最后,我们将APGW模型应用到一组膀胱癌复发数据的分析中,得到了一些有意思的结果.

在统计推断里, 参数估计的好坏很大程度上依赖于抽样设计, 所以有效的抽样设计将是一项重要的研究课题. 本文分别在排序集抽样(RSS), 非均等最大值排序集抽样(MaxRSSU)和非均等最小值排序集抽样(MinRSSU)下研究了Topp-Leone分布中参数的极大似然估计(MLE)及其性质. 上述MLE渐近效率的理论结果表明MaxRSSU估计和简单随机抽样估计一样有效, RSS估计和MinRSSU估计都比简单随机抽样估计有效.

本文在两区间上最小算子$T_{0}$ 的正则域$\Pi(T_{0})$非空的情形下,利用直和理论及方程$\tau y=\lambda y$的解,给出两区间上奇异型高阶$J$-对称微分算子的$J$-自伴扩张域的解析描述,其中包括一端正则一端奇异问题及两端奇异问题.

该文研究了一类具有空间异质性HIV潜伏感染的非局部扩散动力学模型. 克服了非局部算子引起的非紧性困难并利用更新方程得到了下一代再生算子$\mathcal{R}$的泛函表达式, 进而得到模型基本再生数$R_0$, 即下一代再生算子$\mathcal{R}$的谱半径. 然后对系统进行阈值动力学分析. 具体地, 通过构造合适的Lyapunov泛函证明了当$R_0<1$时, 未感染平衡态是全局渐近稳定的; 利用点耗散系统的一致持久性理论证明了当$R_0>1$时, 系统是一致持久的并且系统至少存在一个正平衡态.

本文研究了时滞微分方程$$f(z+1)-f(z-1)+a(z)\cfrac{f'(z)}{f(z)}=b(z)$$的有限级亚纯解$f(z)$ 与亚纯函数$g(z)$ CM 分担$0,1,\infty$ 时的唯一性问题, 其中$a(z), b(z)$ 都是非零有理函数, 则或者$f(z)\equiv g(z)$或者$f(z)=Ce^{ik\pi z}$ 且$f(z)g(z)\equiv1,$ 其中$C$ 是不为零的常数,$k$ 是不为零的整数.

在一般无界区域上, 研究三维不可压缩黏性磁流体方程组的初边值问题的大时间渐近行为. 利用算子磨光理论, 首先建立近似解; 其次, 运用谱分析方法、解析半群理论, 对方程组中的非线性项建立了一个新的统一估计, 结合能量估计方法和弱收敛理论, 最终证明了整体弱解的存在性, 给出了大时间衰减速率, 并且揭示了弱解的代数衰减性质是由其内含的线性部分 (即 Stokes方程的半群解)主导.

均匀设计是一种空间填充设计,因其试验次数的灵活性而被广泛应用于科学试验和工业生产等领域.偏差用来度量设计的整体均匀性,但在实际问题中,往往需要考虑设计的低维投影均匀性.本文推广了Wang et al.(2021)的结论,利用再生核函数定义了任意$q$水平设计的均匀性模式,并给出了最小低阶投影均匀性准则,该准则可用于筛选最小低阶投影均匀设计.建立了任意$q$水平设计的均匀性模式与广义字长型之间的解析关系,并获得了任意$q$水平设计均匀性模式的一个改进的下界,该下界作为一个基准用于衡量投影设计的均匀性.最后通过数值例子验证了所获得的理论结果.

本文考虑Dirichlet边界条件的一维薛定谔方程, 其中, Neumann控制含有界扰动.一方面, 我们设计滑模控制器并分析了闭环系统的稳定性.首先, 利用可逆变换对原系统进行变换, 证明了系统的适定性. 其次, 设计滑模面, 证明了滑模面上系统的指数稳定性. 再次, 构造滑模控制器, 证明系统在有限时间内可达滑模面, 进而证明了闭环系统的稳定性. 另一方面, 我们构造高增益预估器, 设计自抗扰控制器, 并分析了闭环系统的稳定性.最后, 对施加滑模控制和自抗扰控制的闭环系统状态分别进行数值模拟, 说明了两种控制器的稳定效果.

本文研究一类具有多种传播途径的随机霍乱传染病模型, 首先通过构造适当的Lyapunov函数, 证明该模型唯一正解的全局存在性和疾病的灭绝性. 其次利用遍历性理论, 得出了系统存在平稳分布且具有遍历性. 最后利用数值模拟验证了所得理论结果的正确性, 随机噪声对传染病的传播有很大的影响, 较大的噪声有利于控制传染病的爆发和传播.

主要考虑具有可乘白噪声和拟周期外力项的Boussinesq格点系统的随机一致指数吸引子的存在性. 首先, 利用Ornstein-Uhlenbeck过程将具有白噪声项的随机Boussinesq 格点系统(SDE)转化为无白噪声项的随机Boussinesq格点系统(RDE). 接着, 证明RDE系统的解可定义联合连续的随机动力系统.然后, 证明此系统存在一致吸收集并构造一个缓增有界闭的随机吸收集, 验证系统在此吸收集上的Lipschitz连续性和随机挤压性,这可以通过估计解的“尾部”和对系统的两解之差做适当的分解来解决. 最后,根据联合连续随机动力系统的随机一致指数吸引子存在的判据, 得到本文所考虑的系统的随机一致指数吸引子的存在性.

本文旨在研究时滞随机微分方程截断EM格式数值解的收敛性及收敛阶.基于随机C稳定和随机B相容的数值格式具有强收敛性的理论框架,系统研究了时滞随机微分方程在局部Lipschitz条件、Khasminskii条件和单调性条件下,截断EM格式的收敛特性.研究结果表明,在该条件下截断EM格式的数值解具有强收敛性,且具有1/2阶的收敛精度.这一结论为时滞随机微分方程的数值求解提供了理论依据,并拓展了截断EM方法的应用范围.

本文建立了$p$-阶弱单调条件下$G$-Brown运动驱动的倒向随机微分方程解的存在唯一性定理和比较定理, 其中 $p>1$,方程的生成元$f$和$g$关于$y$满足$p$-阶弱单调条件, 关于$z$ 满足Lipschitz条件, 终端条件$\xi$满足$p'$-阶可积条件,$p'>p$.

本文在统计学习理论框架下, 研究了最大相关熵回归模型在带有混合对称三角噪声下的学习速率, 有限样本下的估计效果和稳健性, 以及对真实数据的估计.结果显示最大相关熵回归模型具备渐近最优的收敛速率, 在有限样本下有着良好的估计效果, 并且具有比Huber和最小二乘回归更优良的稳健性.

我们研究了关于Bowen距离$d_{n}$有有界复杂性的动力系统，证明了任意一个可数群$G$作用下的拓扑动力系统$G\curvearrowright X$是等度连续的当且仅当$X$关于$\{d_{n}\}_{n=1}^{\infty}$有有界拓扑复杂性，同时证明了对于任意一个可数群$G$作用下的拓扑动力系统$G\curvearrowright X$以及$X$上的一个Borel概率测度$\mu$，$\mu$ 关于$\{d_{n}\}_{n=1}^{\infty}$有有界测度复杂性当且仅当$G\curvearrowright X$是$\mu$-等度连续的，推广了Huang, Li, Thouvenot, Xu和Ye的结果.

在特定实际问题中，含有序和不等式约束的结构在多个领域中都有着广泛的应用. 在计算这类参数的估计时，通常会受到序约束条件的限制. 例如，在药物检验中，研究人员可能对某个药物的剂量进行限制，因此需要考虑序约束条件. 因此，序约束均值估计在这些应用中具有重要的应用价值. 在以往的文献中，关于序约束下均值估计问题集中在2个和3个多元正态总体，本文在此基础上进行拓展，研究了$k$个多元正态总体均值在简单半序约束下的估计问题，提出总体协方差矩阵$\Sigma_{i}$已知时总体均值基于PAVA算法的一种新估计$\tilde{\mu}$，并证明了它一致优于无序约束下的极大似然估计$\bar{X}$. 最后通过模拟实验验证了新估计方法的有效性，并与极大似然估计方法进行了比较.

在统计推断里,参数估计的好坏很大程度上依赖于抽样设计,所以有效的抽样设计将是一项重要的研究课题.本文分别在简单随机抽样(SRS)和排序集抽样(RSS)下研究了SBB$(\theta)$分布中参数$\theta$的MLE及其性质.理论结果和数值结果均表明RSS下$\theta$的MLE比SRS下$\theta$的MLE渐近有效.考虑到排序可能会出错,本文也考虑了非完美排序集抽样(IRSS)下$\theta$的MLE的渐近效率,数值结果显示渐近效率会受到排序判决的影响,但IRSS下$\theta$的MLE至少和SRS下$\theta$的MLE一样有效.

本文以浅水波模型(2+1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)方程为研究对象,考察了方程的Lie对称性、相似约化和相似解与守恒律.利用Lie对称分析方法得到方程的单参数变换群、群不变解、Lie代数乘法表和Lie伴随表.基于对称性,利用Lie代数获得无穷小生成元的最优系统.最后证明方程具有非线性自伴随性,并推导方程的守恒律.

我们考虑半轴上双曲可压缩Navier-Stokes方程组的初边值问题.该系统在Lagrangian坐标下具有一致的特征边界结构.我们首先构造一个具有非特征边界的近似系统,利用基本的能量估计方法得到了该近似系统的全局光滑解.齐次,通过建立一致能量估计并利用紧性理论,对近似系统取极限得到原问题的全局解.此外,当松弛参数趋于零时,我们证明松弛系统的解整体收敛到经典可压缩Navier-Stokes方程组的解.

设$\left\{X_{n},n\ge 1\right\}$是一列独立同分布的随机变量,$N\left (n\right)$是一列正整数值随机变量.在一定条件下,本文获得了极值$M_{N\left (n\right)}=\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{N\left (n\right)}\}$与部分和$S_{N\left (n\right)}=\sum\limits_{i=1}^{N (n)}X_{i}$的联合极限分布.该结果也被推广到了极值次序统计量与部分和情形.最后,本文也考虑了上述结论在强混合情形下的推广.

结合解析函数空间理论及复微分方程理论,讨论非齐次线性复微分方程
f^(k)+B_k-1(z) f^(k-1)+…+B₁(z) f'+B₀(z) f=B_k(z)
解析解的性质.首先,得到了方程解析解属于加权Bergman空间$(A_\omega^p)$的系数条件;其次讨论了其逆问题,即当方程所有解属于加权Bergman空间$(A_\omega^p)$时系数属于加权Bergman空间 $\left.A_{\omega_{[k p]}}^p\right)$;最后讨论了二阶齐次微分方程解的加权Bergman空间$(A_{2(\rho+2)}^p)$性质.

在非圆柱对称介质中,通过探讨具有克尔类非线性项的麦克斯韦方程,导出一个新的半线性椭圆方程,然后利用Hilbert-Schmidt理论,给出了算子$L$的谱,其中特征值$0$具有无限重数.由于算子$L$的核空间是无穷维的,所以该半线性椭圆方程的能量泛函是强不定的.因此我们构造了适当的索伯列夫空间,利用变分方法证明方程存在基态解.此外,如果非线性项是偶的,那么能量泛函有无界的临界值序列.

在三维空间中给出渐伸-渐缩线的一种定义,并以此为基础研究三维闵可夫斯基(Minkowski)空间中伪零曲线的类光渐伸-渐缩线的存在性及相互关系.与此同时,利用伪零曲线的结构函数研究其类光渐缩线的一般结构以及伪零螺线的类光渐缩线的具体结构表达式,并给出相应的实例及图示.

研究了一维六方压电准晶中多分支快速传播裂纹的断裂问题,利用复变函数方法给出了电非渗透下的多分支快速传播裂纹的应力、场强度因子和能量释放率的解析形式,分析单支、双支快速传播裂纹场强度因子受裂纹偏折角和裂纹相对尺寸的影响和能量释放率受传播速度的影响。结果表明：对于单支快速传播裂纹来说随着裂纹偏折角度的增大,裂纹尖端的场强度因子减小；随着裂纹相对尺寸的增加,裂纹尖端的场强度因子减小；随着裂纹传播速度的增大,能量释放率增大；对于双支快速传播裂纹来说随着的增大,裂纹尖端的场强度因子减小；随着主支裂纹长度的增加,裂纹尖端的场强度因子减大；随着裂纹传播速度的增大,能量释放率增大.

在微分方程和动力系统研究中,对于具有奇性的微分方程的研究更加具有重要的科学意义和应用价值,吸引了不少学者的极大关注和探索.本文考虑了一类奇性$\phi$-Laplacian广义Liénard型方程周期正解的存在性,其中该方程的非线性项在原点有奇性并且是非自治的.利用Man'asevich-Mawhin连续性定理和一些相关分析研究方法,我们证明了该方程在强弱吸引型奇性和强弱排斥型奇性条件下周期正解的存在性.