针对疟疾疫苗在疟疾传播方面的实际问题,构建了一个具有疫苗接种和失效的疟疾传播动力学模型, 并计算了该模型的控制再生数$\mathcal{R}_{c}$.给出了该模型的无疟疾平衡点和疟疾平衡点关于$\mathcal{R}_{c}$的存在性条件.利用Lyapunov函数法结合广义的Lyapunov-LaSalle定理, 建立了无疟疾平衡点和疟疾平衡点关于$\mathcal{R}_{c}$的全局渐近稳定的充分必要条件.

许多领域都离不开试验, 例如在新产品的研发以及测试中都需要进行精心设计的科学试验. 当在试验中因子的水平改变非常困难时, 如何合理安排试验次序是一个非常重要的问题. 本文研究了具有最小和最大水平变化次数的试验次序的一些基本理论, 并针对完全因析设计、非正规部分因析设计和均匀设计等设计讨论了最优试验次序构造方法. 作为实际中广泛应用的一些设计, 利用本文的结果给出了其具有最小和最大水平变化次数的试验次序及相应的水平变化次数.

本文关注带正同态算子的脉冲分数阶微分方程积分边值问题正解的多重性问题. 利用经典的Guo-Krasnosel'skii 不动点定理,给出了脉冲分数阶微分方程至少存在两个正解的充分条件. 最后, 用实例验证了理论结果的有效性.

邻点可区别边染色是指图$ G $有一个正常边染色且任意两个相邻顶点的颜色集合不相等. 邻点可区别边色数是指使图$ G $ 有一个邻点可区别边染色的最小颜色数值, 记作$ \chi_{a}{'}(G) $. 本文证明了: 若图$ G $是围长至少为$ 6 $的正常平面图, 则有$ \chi_{a}{'}(G) \leq \max\{6, \Delta(G)+1\} $.

本文用Lévy过程为保险公司的盈余水平建模. 假设保险公司在固定的时间对盈余水平进行观测, 并在每次观测后做出决策. 如果观察到的盈余水平小于给定的临界水平, 且非负时, 不足的部分将被一次性注入, 使得盈余水平恢复到临界水平. 如果观察到的盈余水平为负, 就立即宣布破产. 我们利用傅里叶余弦级数展开方法, 提出了计算破产前有限时间期望折现注资总成本和有限时间期望折现罚函数的数值方法. 通过误差分析和数值实例, 证明了该方法的准确性和有效性, 并研究了各个参数对结果的影响.

作为金融市场体系的重要组成部分, 选择最优的投资和再保险策略对保险公司来说十分重要. 本文研究了保险公司在均值-方差准则下的最优投资和再保险问题, 假设保险公司通过购买比例再保险来分散自身风险, 其盈余过程由近似经典Cramér-Lundberg模型的扩散过程刻画, 此外, 保险公司通过投资于无风险资产和风险资产来增加收入, 其中风险资产价格服从Volterra Heston模型. 由于Volterra Heston模型的非马尔可夫性和非半鞅性, 经典的随机最优控制框架不再适用, 本文通过构造一个辅助随机过程, 得到了依赖于Riccati-Volterra方程解的最优投资和再保险策略及有效前沿, 并对最优策略、有效前沿和波动率粗糙度、再保险因素之间的关系进行了数值分析, 发现股票价格的波动率越粗糙, 保险公司对股票市场和再保险的需求越大.

本文对二维 Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov (Fisher-KPP)方程建立了一组加权的结构保持有限差分方法. 运用能量分析法证明了当网格步长, 参数$\alpha$, $p$ 及$\theta$满足一定条件时差分解具有保正性, 保界性, 保单调性等一系列数学性质, 且在无穷范数意义下有$O(\tau+h_{x}^{2}+h_{y}^{2})$ 的收敛阶.然后, 依据差分解的渐进展式, 建立了一类Richardson外推法, 获得了收敛阶为$O(\tau^{2}+h_{x}^{4}+h_{y}^{4})$ 的外推解,提高了计算效率. 最后数值实验表明, 数值结果与理论结果相吻合.值得提及的是本文构造的Richardson 外推法无需对时、空网格比增加额外的条件.

本文主要研究可积的耦合Sasa-Satsuma 方程, 它可用于描述两个超短脉冲在双折射或双模光纤中的传输动力学.通过Darboux-穿衣变换, 可以得到一类半有理解.这类解能够展示出怪波与呼吸波之间各种有趣的叠加场景.这些结果将有助于丰富和解释出现在光纤和色散介质中一些相关的非线性现象.

本文利用极值原理在Fréchet次微分下研究了非光滑多目标优化问题的最优性条件. 首先, 研究了非光滑半无限多目标优化问题的必要性条件. 随后, 建立了非光滑多目标优化问题Henig真有效解的必要条件.

丙型病毒性肝炎(简称丙型肝炎或丙肝)是一种由丙型肝炎病毒(HCV)感染引起的病毒性肝炎, 可导致肝脏慢性炎症坏死和纤维化, 部分患者可发展为肝硬化甚至肝细胞癌(HCC). 本文利用丙型肝炎数据建立惩罚三项logit模型诊断患者的疾病分期: 首先选取患者的12项生理指标作为预测向量, 丙型肝炎的三种疾病分期作为响应变量; 接着利用70%的数据作为训练集学习LASSO/Ridge/ENet惩罚三项logit模型, 得到模型的参数估计和概率估计; 再利用30%的数据作为测试集, 结合三类混淆矩阵, ROC(receiver operating characteristic) 曲面, HUM(hypervolume under the ROC manifold), PDI(polytomous discrimination index)和Kappa(Cohen's kappa coefficient)等评估疾病分期的预测精度; 最后引入人工神经网络(ANN), 支持向量机(SVM)和随机森林(RF)等机器学习方法和惩罚三项logit模型进行比较, 发现惩罚三项logit模型的三类分类预测表现最好, 不仅能够进一步提高疾病分期的诊断精度, 而且可以降低丙型肝炎的检测成本.

低秩矩阵补全问题作为一类在机器学习和图像处理等信息科学领域中都十分重要的问题已被广泛研究. 一阶原始-对偶算法是求解该问题的经典算法之一. 然而实际应用中处理的数据往往是大规模的. 针对大规模矩阵补全问题, 本文在原始-对偶算法的框架下, 应用变步长校正技术, 提出了一种改进的求解矩阵补全问题的原始-对偶算法. 该算法在每一步迭代过程中, 首先利用原始-对偶算法对原始变量和对偶变量进行更新, 然后采用变步长校正技术对这两块变量进行进一步的校正更新. 在一定的假设条件下, 证明了新算法的全局收敛性. 最后通过求解随机低秩矩阵补全问题及图像修复的实例验证新算法的有效性.

均匀设计以其稳健和使用方便、灵活的特性而广受欢迎. 为获得实验目标区域内散布均匀的设计点集, 不同的均匀度量标准相继被提出. 目前被广泛应用的有中心化$L_2$-偏差、可卷型$L_2$-偏差、混合偏差等. 对称化$L_2$-偏差具有更好的几何性质, 但受限于投影均匀性差的缺陷, 使用范围十分有限. 为了改进对称化$L_2$-偏差的低维投影均匀性, 基于指数加权方式的投影加权对称化$L_2$-偏差的概念被提出, 加权后的对称化$L_2$-偏差既能保留原偏差的各种优良性质, 同时有效克服原来的缺陷并有更优异的表现. 折叠翻转是构造因子设计时非常有用的技巧. 本文利用投影加权对称偏差来作为评价折叠翻转方案的最优性准则, 得到了两水平U-型设计在一般折叠翻转方案下扩大设计的投影加权对称偏差的下界, 该下界可以作为寻找最优折叠翻转方案的基准.

本文研究了函数型部分线性乘积模型, 该模型可用于响应变量为正数的函数型数据的统计建模问题, 经过对数变换后模型转化为函数型部分线性模型. 基于B-样条, 通过极小化最小一乘相对误差(LARE)和最小乘积相对误差(LPRE), 分别给出模型的LARE估计和LPRE估计, 其中B-样条基的维数利用Schwarz信息准则选取. 对两种估计方法分别给出斜率函数估计的相合性和参数部分估计的渐近正态性, 并且证明了斜率函数的收敛率达到了非参数函数估计的最优速率. 蒙特卡洛模拟用来比较所提出的方法与最小一乘(LAD)估计和最小二乘(LS)估计在不同误差分布下的有限样本性质, 模拟结果表明所提方法是有效和实用的. 最后通过一个实际数据分析的例子来说明模型的应用.

考虑了一类具有变系数耗散和导数型非线性项的广义Tricomi方程在次临界情况下解的爆破问题. 构造若干含时泛函，结合测试函数方法和贝塞尔方程，得到了含时泛函的迭代框架和第一下界. 然后通过迭代证明了其柯西问题解的爆破以及生命跨度的上界估计.

本文研究高频函数型数据均值的检验问题. 对选取主成分个数无限且协方差算子具有离群特征根的函数型数据, 由于样本量的不足和协方差算子的强条件, 经典的基于函数主成分降维方法构造的卡方或混合卡方检验会失效. 因此针对该问题本文提出一种随机化检验, 并证明其大样本性质, 进一步用有限样本的数值模拟研究来验证该方法的有效性, 最后将该方法应用到基准音素数据中.

针对难找到破碎群体平衡方程的精确解和解析方法缺乏的问题, 研究两类积分-偏微分方程(破碎群体平衡方程)接受的李群、群不变解、约化积分-常微分方程及精确解. 首先采用伸缩变换李群分析方法探寻积分-偏微分方程接受的李群. 其次将积分-偏微分方程转化为纯偏微分方程, 运用经典李群分析方法计算纯偏微分方程接受的李群. 然后利用改进了的李群分析方法结合伸缩变换群和经典李群分析方法获得的结果确定积分-偏微分方程接受的李群. 最后找到了积分-偏微分方程接受的李群, 给出了积分-偏微分方程的约化积分-常微分方程、群不变解及显式精确解, 分析了部分解的动力学行为性质及特征.

在本文中, 我们研究一维线性Navier-Stokes-Fourier方程组, 在适当的初值条件下, 给出了解的衰减性的逐点估计, 并刻画了解的衰减方向, 同时验证了广义的Huygens 原理成立. 为此, 我们通过Fourier 变换的方法, 将方程组Green 函数的Fourier变换划分为低频、中频、高频三部分, 分别证明了相应频率段的Green函数的衰减性质, 再通过Fourier逆变换与基本解的性质, 得到原问题解的衰减估计.

结合博弈论研究排队系统中顾客的策略行为成为当前排队论研究的一个热点. 本文研究了离散时间排队系统中风险敏感性顾客的策略行为. 不同于经典排队经济学的是, 本文的效用函数是期望-方差二次效用函数. 根据纳什均衡和马氏过程理论, 该文分别研究了在完全可视和完全不可视两种情况下Geo/Geo/1排队系统中风险敏感性顾客的博弈行为. 得到了风险敏感性顾客的个体最优策略、社会最优策略和服务商利润最优策略. 研究发现, 风险敏感系数越小, 顾客越喜欢冒险, 加入系统的意愿越强. 数值实验探索了风险敏感系数对顾客策略行为的影响.

本文引入了集值映射不带低阶逼近方向的高阶广义弱Studniarski上导数, 并且讨论了该导数的一些性质和运算法则. 利用高阶广义弱Studniarski上导数及其性质, 建立了复合集值优化问题弱有效解的高阶最优性充分条件和必要条件, 并且给出了一些例子来验证所获得的结果.

考虑到金融市场数据波动的不确定性, 本文提出了一个新的对数均值回复跳扩散4/2随机波动率(LMRJ-4/2-SV)模型. 首先, 构建了LMRJ-4/2-SV模型, 并利用FFT等方法获得了基于LMRJ-4/2-SV模型的欧式期权定价公式. 其次, 对实际市场数据进行描述性统计分析, 探讨标的资产价格变化特征及LMRJ-4/2-SV模型的适用性, 并通过粒子群优化算法估计模型参数. 最后, 基于LMRJ-4/2-SV模型下的期权定价公式及模型参数估计值对欧式期权进行定价, 并将其定价结果与 4/2、3/2、Heston模型估计值及市场价格进行对比. 结果表明: 基于LMRJ-4/2-SV模型的欧式期权定价误差最小, 定价结果较其它随机波动率模型而言具有明显优势.

本文证明如果动力系统具有周期$\mathscr{M}_{\alpha}$-跟踪性质或者 周期$\mathscr{M}^{\alpha}$-跟踪性质, 则其测度中心的限制系统也具有 相同的跟踪性质. 反之, 如果动力系统在其测度中心的限制系统具有周期$\mathscr{M}_{\alpha}$-跟踪性质 (或者, 周期$\mathscr{M}^{\alpha}$-跟踪性质), 则该动力系统具有周期$\mathscr{M}_{\beta}$-跟踪性质 (相应地, 周期$\mathscr{M}^{\beta}$-跟踪性质), 对任意$\beta\in [0, \alpha)$. 同时得到对等度连续系统, 众多跟踪性质都等价于 动力系统具有平凡的测度中心.