平均剩余寿命函数是用于描述生存数据分布的一种重要方法.本文探讨了关于右删失生存数据平均剩余寿命模型的变量选择方法.针对比例平均剩余寿命模型,本文提出了一种基于惩罚估计函数的方法,该方法能够同时进行变量选择和参数估计,并证明了通过选择合适的惩罚函数和调谐参数,得到的参数估计量是$\sqrt{n-}$相合且具有oracle性质.此外,基于局部二次逼近和BIC-型选择准则,提出了估计方法的算法实现.数值模拟结果表明,本文提出的变量选择方法具有优良的表现.最后,将所提出的方法应用到梅奥诊所的原发性胆汁性肝硬化数据.

本文研究一类带有弱吸引势的耦合Choquard型方程.通过比较理论和最小最大值等方法,证明了当耦合常数足够大时,该耦合Choquard型方程有正径向基态规化解.

基于Hamilton系统的共形多辛理论,研究一类带阻尼项eKdV方程的共形高阶紧致保结构算法.首先,通过引入中间变量,将eKdV方程转化为共形多辛Hamilton系统,并利用Strang分裂方法,将该共形多辛Hamilton系统分裂成一个守恒子系统和一个耗散子系统.进一步,空间方向上利用六阶紧致差分格式,时间方向上利用隐中点格式,对该Hamilton系统进行离散得到共形高阶紧致保多辛格式及其等价形式,在周期边界条件下,该离散格式满足全局共形辛守恒律和质量守恒律.最后,通过数值实例表明该格式的有效性及长时间的数值模拟能力.

本文主要研究具有梯形模糊支付的群体博弈平衡解的存在性和稳定性.首先,定义两个梯形模糊数之间一个新的序关系和距离,基于该序关系和距离,得到一些类似于确定情形的性质.其次,基于这些性质并通过Kakutani不动点定理证明该博弈平衡解的存在性.最后,由Fort定理证明在Baire分类意义下,绝大多数该类博弈都是本质的.

本文主要研究了一类内部点条件含有谱参数的Sturm-Liouville算子的自伴性、格林函数以及特征值的依赖性.首先在适当的Hilbert空间中定义一个与问题相关的线性算子$T$,将所要研究的问题转化为对此空间算子$T$的研究,然后证明了算子$T$是自伴的并得到其格林函数.特别地,在自伴的基础上,证明了特征值不仅连续依赖而且可微依赖于问题的各个参数,并给出相应的微分表达式.同时,还讨论了特征值关于问题部分参数的单调性.

考虑空间数据的截面相依性、异质性以及可能存在离群点,本文在分位数回归模型的视角下研究空间自回归模型,建模优势体现在:(1) 能够刻画条件分布的整体特征,展示协变量对响应变量的异质性影响;(2) 能够刻画不同分位水平下空间效应;(3) 对离群点不敏感,具有稳健性,适用于更一般的空间误差结构.针对模型中内生性、目标函数可微性等问题,本文选择工具变量解决空间滞后项带来的内生性问题,构造平滑的矩条件使得目标函数可微,寻找最优带宽得到平滑估计量.理论推导说明了估计量的一致性、渐近正态性和渐近有效性的良好性质.模拟研究展示了该方法良好的小样本表现和计算优势.最后,基于空间分位数回归模型,研究农村劳动力转移对农村贫困发生率的异质性影响和空间聚集效应.

在定时截尾试验方案的基础上提出了一种新的截尾试验方案,即广义定时截尾.在广义定时截尾样本下研究了Burr XII分布中未知参数的极大似然估计和近似置信区间.当刻度参数已知时,取形状参数的先验分布为伽玛分布,在三类损失函数下求出了形状参数及可靠度的贝叶斯估计.当两个参数都未知时,在平方损失函数下利用Lindley近似方法求出了未知参数和可靠度的贝叶斯估计.分别用经典方法和贝叶斯方法对被截尾元件的剩余使用寿命进行预测,包括点预测和区间预测,并用经典方法对未来的次序失效时刻进行预测.通过随机模拟计算出近似置信区间的平均长度并对经典估计和贝叶斯估计的精度进行比较,从均方误差来看,贝叶斯估计要优于极大似然估计.最后,对一个真实数据集进行了分析.

群体博弈作为近年来的一个热门研究方向,已被应用到道路交通网络中.由于不完全信息、不完全理性或不确定环境等不确定因素,本文旨在群体博弈中加入不确定参数,研究其合作NS均衡的存在性，并将其应用于多车协同路径规划问题中.在这之前,先研究含有不确定参数的正规型博弈中合作NS均衡的存在性,并利用Zhao(1992)中分合均衡的思想证明该合作NS均衡的存在性,再给出相应的算例分析.其实,合作NS均衡是介于合作均衡α-核与非合作NS均衡之间的一类分合均衡,更符合现实的经济环境,具有重要的研究意义.

在统计推断中,参数估计的好坏很大程度上依赖于抽样设计,所以有效的抽样设计将是一项重要的研究课题.本文在排序集抽样(RSS)下研究了Ailamujia分布中参数的极大似然估计(MLE)及其性质.理论结果和数值结果均表明RSS下的MLE比简单随机抽样(SRS)下的MLE渐近有效.考虑到排序可能出错带来的影响,本文进一步考虑了非完美排序集抽样(IRSS)下该参数的MLE的渐近效率,理论结果和数值结果均表明IRSS下的MLE至少与SRS下的MLE一样有效.

对偶理论是向量优化理论的一个重要分支,它对建立向量优化问题的最优性条件及求解起着重要的作用,而且被广泛应用于博弈论和经济平衡等领域.本文研究了广义向量优化的共轭对偶和拉格朗日对偶.首先,在由凸锥诱导的序关系下,利用集合的弱上确界引进了新的共轭映射,举例说明了其经济意义.利用扰动映射定义了广义向量优化的共轭对偶,得到了弱对偶、强对偶和逆对偶定理,并举例说明了强对偶定理.其次,引进了新的拉格朗日映射,定义了广义向量优化的拉格朗日对偶.借助拉格朗日映射刻画了原问题的目标值,建立了拉格朗日对偶理论.最后,定义了鞍点并得到了鞍点定理.推广了参考文献中的相应结果.

在微分方程和动力系统研究中,对于具有奇性的微分方程的研究更加具有重要的科学意义和应用价值,吸引了不少学者的极大关注和探索.本文考虑了一类奇性$\phi$-Laplacian广义Liénard型方程周期正解的存在性,其中该方程的非线性项在原点有奇性并且是非自治的.利用Man'asevich-Mawhin连续性定理和一些相关分析研究方法,我们证明了该方程在强弱吸引型奇性和强弱排斥型奇性条件下周期正解的存在性.

传统均值回归模型已广泛应用于预测领域, 但它较难捕捉数据的尾部特征, 尤其是在数据存在偏态和厚尾分布的情况下. Expectile回归作为均值回归模型的拓展, 为不同分布形态与Expectile水平下的建模提供了更灵活的框架, 从而能够更细致地揭示可预测性特征. 本文提出了一种针对Expectile预测回归模型的一致可预测性检验方法, 该方法考虑了金融时间序列中可能存在的高持续性与条件异方差性. 本文推导了检验统计量的渐近分布, 并证明该方法对预测变量的不同持续性情形具有稳健性. 实证分析检验了11项宏观经济指标对普尔500指数月度收益率的可预测性. 结果显示, 不同Expectile点下预测能力存在显著差异. 研究表明, Expectile预测回归模型在刻画金融数据的复杂性以及提升预测精度方面具有显著优势.

本文研究了一类定义在凸锥内的四阶椭圆算子的超定问题. 主要目标是在给定边界条件下证明解的径向对称性. 通过构造$P$ 函数并应用极值原理, 我们证明了若在具有平均凸边界部分的有界扇形区域中存在光滑解, 则该区域必为球面扇形$-$即锥体与球体的交集. 本文的主要贡献是克服了锥上$P$函数的精确边界估计的挑战，这是一个比经典有界区域更复杂的几何设置. 我们同时给出了解的显式表达式及Neumann数据与球半径的关系, 从而将若干经典刚性定理推广至凸锥情形.

本文在考虑索赔内部信息影响下, 研究一个保险人和$n$个再保险人基于竞争的最优再保险决策问题. 一个保险人和$n$个再保险人共同分担理赔, 通过相对业绩量化保险人与再保险人之间的竞争. 索赔内部信息是指关于未来索赔的部分信息, 通过域流扩张理论对其建模. 保险人的目标是在再保险终止时刻, 最大化他的相对盈余的均值, 同时最小化其相对盈余的方差. 通过随机控制和随机分析理论, 建立Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程和验证定理. 通过求解HJB 方程和构建拉格朗日函数, 求得最优再保险策略和相应最优值函数的显式解. 最终, 通过数值实验测试索赔内部信息, 竞争和再保险人数量等模型关键特征对最优再保险策略的影响, 并分析影响背后蕴含的保险和经济意义.

关于分红问题的研究一直是风险理论领域的核心焦点. 因为在现实情形中, 保险公司并不完全清楚索赔遵循的具体分布, 只可以获得某一特定时间点之前的索赔相关信息, 因此基于这些数据进行分红函数的统计估计研究将更有意义. 在阈值分红策略下, 本文研究了带扰动复合泊松风险模型的破产前分红总额的期望现值函数. 根据可获得的索赔和分红观测数据, 利用傅里叶余弦级数展开方法 (COS方法)得到了破产前分红总额的期望现值函数的统计估计量, 并分析其在大样本情形下的收敛速度, 最后给出了数值结果来进一步证明估计方法的有效性.

本文研究了带有旋转惯性和强阻尼的梁方程:\begin{align*}&\varepsilon(t)(1+(-\Delta) ^{\alpha})\partial^{2}_tu+\Delta^2 u-\gamma\Delta\partial_tu+f(u)=g(x), \qquad \alpha\in[0,1)\end{align*}解的渐近性态.当在非线性项满足$1\leqslant p< p^{*}=\frac{N+2}{N-4},$$N\geqslant5,$时,应用Faedo-Galerkin逼近方法和渐近正则估计技术,得到了解的适定性和正则性.进一步应用收缩函数方法,验证了过程的渐近紧性,最后获得了时间依赖全局吸引子在时间依赖空间$\mathcal{H}_{t}^{\alpha}$的存在性.

目前关于反应扩散系统的Turing不稳定的研究已经有了很多成果, 但关于其Turing斑图的形成, 特别是在交叉扩散驱动下, 反应扩散系统斑图的模式形成及演化过程的研究还停留在初期阶段. 因此, 针对一类具有交叉扩散项的Oregonator反应扩散系统, 分析了该系统的Turing斑图动力学. 首先在自扩散项驱动系统稳定的情况下, 得到了交叉扩散项诱导系统发生Turing不稳定的条件. 其次研究了反应物的交叉扩散项对系统的斑图形成模式及演化过程的影响, 讨论了交叉扩散项能否改变系统因自扩散项引发的Turing不稳定状态及不同的交叉扩散系数能否影响系统的稳定速度. 最后仿真验证了交叉扩散项对系统Turing不稳定性及斑图演化具有显著作用.

本文探讨了一类具有非线性收获项的Leslie-Gower捕食-食饵模型. 首先, 我们讨论了平衡点的存在性和稳定性, 证明了余维2尖点的存在性.然后, 对模型出现的鞍结点分支、Hopf分支以及余维2的Bogdanov-Takens 分支进行了研究. 同时, 通过数值模拟详细展示了该模型存在的动力学行为.

本文研究描述具有周期性营养物供应的球对称血管化肿瘤生长的数学模型. 肿瘤的外半径$R(t)$随时间变化而变化, 因此该问题是一个自由边界问题.肿瘤内的细胞通过血管获得营养物$\sigma(r,t)$, 肿瘤以与$\alpha(t)$成比例的速率生成血管. 因此, 边值条件\begin{equation*}\sigma_r(R(t),t)+\alpha(t)(\sigma(R(t),t)-\psi(t))=0\end{equation*}在边界上成立, 其中函数$\psi(t)$是外部供应给肿瘤的营养物的浓度. 考虑到外界提供的营养物质往往是周期性的供给,本研究假设$\psi(t)$是一个周期函数. $\alpha(t)$是一致有界函数, 且有正的下界.给出了零稳态解（即无肿瘤平衡）全局稳定的充分必要条件.在零稳态解不稳定的条件下, 当$\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}(\alpha(t)-\bar{\alpha}(t))=0,$其中$\bar{\alpha}(t)$为周期函数, 证明了存在唯一的周期解是该模型所有解的全局吸引子. 最后通过计算机模拟对结果进行验证.

将模糊映射引入与混沌密码设计相关的一类耦合映象格子, 证明了模糊耦合系统具有$\mathcal{P}_1$-混沌性意味着初值映射也具有同样的混沌性, 其中$\mathcal{P}_1$-混沌包括$({{\mathcal{F}}_{1}},{{\mathcal{F}}_{2}})$-混沌、Li-Yorke混沌、分布混沌、spatio-temporal混沌、稠$\delta $-混沌、稠混沌、Ruelle-Takens混沌和Kato混沌. 特别地, 将初值映射限制在空间的对角线上, 得到模糊系统具有$\mathcal{P}_2$-混沌的充分条件. 其中$\mathcal{P}_2$-混沌包括初值敏感依赖、Li-Yorke敏感、稠Li-Yorke敏感、无限敏感、syndetically敏感、有限余敏感、$({{\mathcal{F}}_{1}},{{\mathcal{F}}_{2}})$-敏感、$\mathcal{F}$-敏感、传递、正合和可达.

令$G=(V,E)$是一个图.令$k$和$d$都是正整数.若能用$k$种颜色给图$G$的顶点染色使得每个顶点至多有$d$个邻点与其同色,则称$G$是$(k,d)^{*}$-可染的.给定图$G$的一个列表配置$L$,给每个$v\in V(G)$分配一个颜色列表$L(v)$.一个$(L,d)^{*}$-染色是指存在一个可给每个顶点$v\in V(G)$分配$\pi(v)\in L(v)$的映射$\pi$,使得$v$至多只有$d$个邻点与$v$染相同的颜色.如果每个$v\in V(G)$的颜色列表都满足$|L(v)|\ge k$时,图$G$有一个$(L,d)^{*}$-染色,那么称$G$是$(k,d)^{*}$-可选的.本文,我们证明了对所有的$i\in \{3,4\}$,每个不含相邻$i$-圈和$7$-圈的平面图是$(3,1)^{*}$-可选的.

深度学习作为人工智能领域的新兴研究方向, 近年来受到广泛关注, 并在许多应用领域取得了显著的进展. 共轭梯度法作为一种有效的优化方法, 通过迭代逼近最优解, 在数值效果方面表现出色. 与其他方法相比, 这类方法无需计算Hessian矩阵, 从而大大减少了计算和存储空间的需求. 因此, 本文旨在研究共轭梯度法在深度学习中的应用, 并提出了一种新的共轭梯度法, 证明了该算法具有充分下降性和信赖域特征. 此外, 我们还介绍了随机子空间算法以及基于该算法改进的带有方差缩减技术的随机子空间算法, 并给出了新算法的详细步骤, 以便更直观地理解其目的和意义. 通过理论证明, 我们得出了新算法具有良好的收敛性和高效的迭代效率, 且复杂度为$O(\epsilon^{-\frac{1}{1-\beta}})$, 同时通过实验说明该方法有着良好的数值表现.

本文对控制系统引入了一种新的测度不变压, 给出了该测度不变压的逆变分原理. 并给出了非奇异测度不变压的两个等价刻画: Bowen 测度不变压和测度反馈压.

随着高科技的快速发展，高维数据的涌入给现有的统计方法和理论带来新的挑战. Huber 回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法.现有的 Huber 回归方法，用相同的先验同等地对待所有预测因子. 本文利用预测器之间的图形结构来提高稀疏 Huber 回归中参数估计、模型选择和预测的性能. 为了克服求解带有图形结构的 Huber 回归的困难，提出一种基于线性化技术的修正的交替方向乘子法(ADMM 算法). 模拟和实证研究结果表明: 在预测器间结合图形结构的 Huber 回归方法在估计精度和预测性能上优于不加图形结构的自适应Lasso惩罚的Huber回归.

在大数据时代, 生物医学与金融等领域面临复杂变量关系建模的挑战, 关键交互效应的识别对于提升预测精度和揭示作用机制至关重要.然而, 在高维数据中变量数量庞大, 交互项数量更为庞大且快速增长, 若全部纳入模型, 易导致计算困难与模型过拟合. 因此, 有效筛选对研究事件具有显著影响的主效应与交互效应, 已成为亟待解决的重要问题.本文针对超高维右删失生存数据, 基于Hilbert-Schmidt独立性准则, 结合两步筛选策略, 提出了一种不依赖于模型假设的变量筛选方法.此方法可以同时实现重要主效应和重要交互效应的选取, 且可以处理维数很高的数据. 数值模拟与实际数据分析结果表明, 该方法在多种设定下均表现出良好的筛选性能和识别精度, 且具有较强的稳健性.

研究时空分数阶扩散方程源项辨识问题. 分析此问题的不适定性, 得到条件稳定性估计. 提出迭代的广义拟逆正则化方法. 获得该反源问题的正则化解, 给出先验和后验参数选择规则下正则化解与精确解之间的误差估计. 最后通过数值结果验证方法的有效性和稳定性.

对每一个研究对象, 在一些时间段进行连续地观测而在其它时间进行定期地观测, 则有时能观测到事件发生时间的精确值, 而在其他一些时间内只能观测到事件发生的次数, 这类数据称为第二类混合复发事件数据. 本文考虑第二类混合复发事件的回归分析问题, 假设潜在的事件过程服从非齐次泊松过程的前提条件下, 建立了半参数回归模型, 给出了未知参数与基准强度函数的最大似然估计方法, 并从理论上证明了该估计的相合性与渐近正态性, 模拟结果验证了前述理论. 最后将该方法应用到一个关于肿瘤复发的医学问题中.

本文主要利用几何奇异摄动理论和鸭解理论研究了一类捕食食饵系统的动力学. 该系统是具有弱Allee效应与捕食者恐惧效应的改进的Leslie-Gower模型.首先讨论了系统平衡点的存在性和稳定性, 然后利用几何奇异摄动理论和鸭解理论讨论系统的鸭爆炸和松弛振荡, 最后运用数值模拟验证了理论分析.

通过在分数阶拉普拉斯耗散的正则化效应和旋转产生的色散效应之间建立新的平衡,证明了当初值在Besov空间中满足一定的小性条件时,三维广义旋转磁流体力学方程组柯西问题是整体适定的. 值得一提的是, 当旋转参数充分大时, 允许初始速度任意大.

粗糙Bergomi随机波动率模型是一类重要的随机波动率模型, 在期权定价的波动率刻画上有着更好的精确度. 目前粗糙Bergomi随机波动率模型及其参数的校准研究处在探索阶段, 寻求符合我国期权价格变化的粗糙Bergomi 随机波动率模型显得尤其重要. 本文研究该模型下参数的神经网络校准与期权定价问题, 并对我国沪深300ETF期权进行实证分析. 本文利用神经网络两步校准法和重极标差(R/S)分析法对Hurst指数进行参数估计并比较得出最优的Hurst指数的估计效果, 接着通过优化神经网络两步校准, 对其构建的粗糙Bergomi模型实现更准确的参数校准. 最后, 通过将粗糙Bergomi模型与传统的Black-Schole模型、BP神经网络定价结果进行比较, 得到优化后的粗糙Bergomi模型准确度最高、更贴合实际.

本文考虑定义在区间$[0, \pi]$上$PT$对称的积-微分算子, 该算子为具有Volterra积分摄动的Sturm-Liouville算子, 且其势函数在$[0, \pi]$上是对称的, 并建立了该算子反谱问题的唯一性定理. 首先给出算子初值解及相关算式的积分表达式, 并对其核函数进行估计, 随后结合Fredholm积分方程与Banach压缩映射准则, 在给定扰动项Volterra积分算子的核函数$M$, 且势函数和核函数的范数都充分小的前提下, 证明了一组Dirichlet谱可以唯一确定$[0,\pi]$ 上的对称势函数.

弱奇异延迟微积分方程有着广泛的应用, 本文采用雅克比谱方法分析弱奇异延迟Volterra微积分方程, 从理论上证明谱收敛性, 获得解和导数的误差在$L^{\infty}$ 空间和$L^{2}_{\omega^{-r,-r}}$空间呈指数衰减性. 最后通过三个数值例子进行仿真模拟, 验证谱分析分析结果的正确性.

大数据与网络的发展使得非概率样本的获取越来越方便, 然而非概率样本入样概率未知, 难以推断总体. 另一方面, 概率样本入样概率已知, 具有总体的代表性, 然而其成本与无回答率逐年上升, 甚至可能出现其目标变量缺失的情况. 当存在目标变量缺失的概率样本和数据完整的非概率样本时, 如何结合两个样本来估计总体值得研究. 针对此问题, 提出基于非概率样本建立非参数超总体局部多项式模型预测概率样本缺失的目标变量, 建立倾向得分模型估计非概率样本的入样概率, 进一步估计非参数超总体局部多项式模型的预测误差, 最终获得总体估计. 模拟和实证研究结果表明, 与插补法估计和倾向得分逆加权估计相比, 无论非参数超总体局部多项式模型或倾向得分模型建立正确与否, 提出估计的绝对相对偏差, 标准差, 均方误差基本上均是最小的, 且其Bootstrap方差估计也较小, 估计效果较好.

双线性时间序列模型作为一类重要的非线性模型, 在控制理论、计量经济学等领域具有广泛应用, 尤其适用于地震数据等具有突发波动特性的建模场景.相较于传统线性模型, 该类模型能更有效地刻画时间序列数据中的偶然爆发特征.本文重点研究了一类带有函数型异方差的双线性时间序列模型, 建立了其基于筛估计的广义自回归条件异方差型极大似然估计量(GMLE)的渐近理论.证明了在误差项四阶矩有限的情况下, 广义极大似然估计量是一致的和渐近正态的.此外, 我们进行了数值模拟, 以评估基于筛法的GMLE在有限样本情况下的性能.

本文研究了含时间依赖记忆核的Boussinesq方程解的长期动力学行为, 首先利用Galerkin方法证明了含有时间依赖记忆核的Boussinesq方程弱解的存在性和唯一性, 其次利用渐近正则估计法证明了时间依赖全局吸引子的存在性和不变性.

考虑一类内部点条件含有谱参数的二阶复系数微分算子问题. 通过在适当的Hilbert空间上定义一个与问题相关的线性算子$A$, 将所研究的问题转化为对此空间中算子的研究, 并证明算子$A$是$J$-自伴的. 另外, 给出算子的基本解和基本解的渐近式以及特征值的渐近式, 进一步, 得到算子的格林函数和预解算子.

本文研究了均值-方差准则下的最优投资和比例再保险问题,其中假定风险资产价格遵循4/2-Cox-Ingersoll-Ross (CIR)随机混合模型.根据拉格朗日对偶理论, 将均值方差问题转化为求解一个最大-最小问题.借助最优控制理论和相应的效用函数下的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程,得到了最优投资-比例再保险策略的解析表达式.最后通过计算最优的拉格朗日乘子,得到原始优化问题的解.此外,本文还提供一个数值例子, 揭示了模型参数对最优投资再保险策略的影响.

本文分别在简单随机抽样(SRS)和平衡排序集抽样(RSS)下研究了Epanechnikov-exponential分布中参数的极大似然估计(MLE)及其性质. 理论结果和数值结果均表明平衡RSS下参数的MLE比SRS下参数的MLE渐近有效. 考虑到排序可能会出错, 本文也考虑了非完美平衡RSS下参数的MLE的渐近效率, 理论结果和数值结果均表明非完美平衡RSS下参数的MLE至少与SRS下参数的MLE一样有效.