基于Ekeland变分原理建立的平衡问题, 减弱了函数和定义域的凸性要求, 减弱了三角不等式条件, 函数只有循环反单调性, 但其具有良好的性质. 一方面, 利用非线性分析方法, 对非凸紧和非凸非紧的平衡问题研究解的唯一性, 在Baire分类意义下, 得到基于Ekeland变分原理建立的平衡问题的解具有通有唯一性. 另一方面, 利用有限理性模型研究非凸紧和非凸非紧的平衡问题的解的稳定性, 得到其结构稳定性和对ε-平衡的鲁棒性. 作为应用, 最后给出了非凸紧的n人非合作博弈有限理性模型Nash平衡点的稳定性.

本文旨在研究满足N/4+2≤n ≤5N/16的GMC 2^n-m设计的统计性质(N=2^n-m), 首先通过研究这些设计别名关系来讨论其估计能力, 然后提出了一种新的理论方法用以得到这些设计的混杂信息, 最后给出了可供实际使用的试验表格.

本文针对带有组结构的广义线性稀疏模型, 引入布雷格曼散度作为一般性的损失函数, 进行参数估计和变量选择, 使得该方法不局限于特定模型或特定的损失函数. 本文比较研究了Ridge, SACD, Lasso, 自适应Lasso, 组Lasso, 分层Lasso, 自适应分层Lasso和稀疏组Lasso共8种惩罚函数的特点和引入模型后参数估计和变量选择的方法, 并给出了分层Lasso的坐标轴下降算法和稀疏组Lasso的加速全梯度更新算法. 模拟研究验证了组Lasso, 分层Lasso, 自适应分层Lasso和稀疏组Lasso能更好的利用数据的组结构信息, 自适应分层Lasso和稀疏组Lasso在变量选择准确性, 参数估计精度方面优于其它方法, 稀疏组Lasso在模型预测精度上达到最优. 作为实证研究, 本文将带有稀疏组Lasso惩罚的逻辑斯蒂模型应用于骨关节炎患者的外周血单核细胞基因表达水平的分析, 选出了9个基因集中共136个基因与骨关节炎有关, 以期对后续生物医学研究有一定指导价值

本文研究了一类广义多项式互补问题, 在一定条件下, 证明了其有唯一解. 通过极大极小转化技术, 将此类广义多项式互补问题转化为光滑化无约束优化问题进行求解, 并提出了一种新的光滑化共轭梯度法. 在一定假设条件下, 证明了该方法的全局收敛性. 最后相关的数值实验表明了算法可以有效求解广义多项式互补问题.

本文将研究一般区域上高维p-Laplacian方程保号解的存在性:#br#(-div(φ_p(▽u))=α(x) φ_p(u⁺)+β(x)φ_p(u^-) +ra(x)f(u), x ∈ Ω,
u(x)=0, x ∈ ∂Ω,)#br#其中Ω是R^N中一个有界且在其边界上光滑的区域, N≥2, 1 < p < +∞, φ_p(s)=|s|^p-2s, a(x)∈ C(Ω, (0, +∞)), u⁺ = max{u, 0}, u^-= -min{u, 0}, α(x), β(x)∈ C(Ω); f∈ C(R, R), 对于s>0, sf(s)>0成立. 当f₀∉ (0, ∞) 或f_∞∉ (0, ∞) (其中f₀= lim_|s|→0f(s)/φ_p(s), f_∞=lim_|s|→+∞ f(s)/φ_p(s)), 且r≠0属于一定区间时, 可以获得上述高维p-Laplacian方程保号解的存在性. 我们用全局分歧技巧和连通序列集取极限的方法获得主要结果.

本文在多类型复发间隔时间数据下, 研究了一类广义半参数风险回归模型的参数估计问题, 给出了该模型中未知参数和非参数函数的一种估计方法, 并证明了估计量的相合性和渐近正态性. 最后利用数值模拟来评估估计量在有限样本下的表现.

平行投影算法是求解凸集图像重建问题的常用工具之一, 它包括迭代复杂度O (1/k)收敛性的上松弛和下松弛两种形式. 本文受Nesterov加速方法的启发, 首先针对凸集图像重建问题提出一种加速的下松弛并行投影算法, 并在某些合适的条件下证明了其迭代复杂度O (1/k²)的收敛性. 然后又提出了一种基于Arimijo技术的自适应加速平行投影算法方法. 最后, 对凸集图像重建问题进行了数值实验, 结果表明我们的算法比下松弛平行投影算法收敛速度快.

数学的拓扑图可以自然地表示编码关系结构, 也叫做拓扑图编码, 这种关系结构在许多领域里得到应用. 本文将图的全着色和图的边魔幻标号结合产生特殊的全着色, 边魔幻tcn-纯全着色和均匀魔幻tcn-纯全着色. 研究了树的边魔幻tcn-纯全着色, 均匀魔幻tcn-纯全着色, 以及具有极值性质的边魔幻全着色数, 确定了特殊全着色在树上的精确着色数, 并指出可以推广到含圈图上去.

吉普问题是一类与物流运输相关的重要优化模型, 目前对吉普问题的关注点主要集中在最远距离问题上, 而在实际问题中同样重要的时间效率问题则没有被深入研究. 本文考虑多吉普车队如何通过合理调度, 使其到达最远距离所需的时间最短的问题. 通过引入行驶任务的概念, 给出了车队最优时间的表示方式和求解方法. 在无仓库数量约束的情况下, 得到了达到最远距离所需最短时间的表达式. 在仓库数量最少的约束下, 对于两吉普车队, 得到了其最优时间的一个估计, 提出了一个关于两吉普车队最优时间的猜测. 本文的结论及采用的方法对许多对时间效率有要求的实际问题及其它吉普问题的时间优化有借鉴意义.

本文借助李对称分析研究了一类自伴随的Lubrication方程, 此类方程可用来描述液体薄膜动力学行为. 基于非奇异的局域守恒律乘子和李对称方法, 我们系统地推导出了此类方程的局域守恒律, 非局域相关系统, 李对称和一些有趣的精确解. 此模型的非局域相关系统在本文中被首次研究, 可用于寻找原方程更丰富的解空间. 此外, 基于局域守恒律和变分原则, 我们推导出原方程的四类拉格朗日函数.

本文讨论了判断事后分层抽样下生存函数的Kaplan-Meier估计及其大样本性质.此外，基于判断事后分层抽样下各层序的信息，对样本进行保序回归，根据样本中是否存在空层的情况提出了不同的保序Kaplan-Meier估计，并讨论各估计的性质.本文通过模拟对判断事后分层样本下的各种Kaplan-Meier估计以及简单随机样本下的Kaplan-Meier估计进行比较，结果显示判断事后分层抽样比简单随机抽样更有效，并且保序估计方法可以提升估计的效率.

考虑带交易费用和跳环境，利用混合次分数布朗运动建立了欧式期权定价模型.首先，利用Delta对冲策略，获得了欧式看涨期权所满足的随机偏微分方程.其次，使用自融资策略分别得到欧式看涨，看跌期权定价公式和看涨看跌平价公式.最后，分别采用“上证指数”，“市北B股”和“耀皮B股”的收盘价日线数据，研究表明：跳环境模型比经典B-S模型更加接近真实值.

如果一个图Γ含有一个自同构群G使得它在顶点集V（Γ）上作用半正则且恰好有两个轨道，则称图Γ是群G上的双凯莱图.进一步的，如果G在全自同构群Aut（Γ）中正规，我们就称这个双凯莱图是群G上的正规双凯莱图.本文中，我们证明了绝大多数非交换单群G上的三度点传递双凯莱图都是该群上的正规双凯莱图.

列扩展设计是添加试验因素，并安排跟随试验的一个重要方法.本文分别构造了四水平和五水平的列扩展设计，基于平均混合偏差准则研究了该类设计的均匀性，并得到了四水平和五水平列扩展设计的平均混合偏差的一个新的下界.数值例子表明本文中构造的列扩展设计具有非常高的效率.

基于Scarf，Kajii关于n-人非合作博弈中的合作均衡存在性定理，越来越多的研究表明，对非合作博弈的合作均衡研究是有必要的.本文综合Sandholm的群体博弈模型以及Yang和Ju证明的多主从博弈的合作均衡存在性定理，旨在详细研究多主从群体博弈的合作均衡.首先，在多主从群体博弈中引入合作均衡的概念，并通过Kajii的命题2证明其存在性定理.然后，将本文的结论退化为群体博弈的合作均衡存在性定理以及单主多从群体博弈的合作均衡存在性定理.最后，给出群体博弈和多主从群体博弈相应的算例分析.

本文对具有两个时滞的双向环形神经网络系统进行了稳定性分析.首先将系统在平凡解附近进行线性化处理，并得到线性化系统的特征方程，通过因式分解法，将系统的特征方程分解为四个一阶因子.其次，当系统参数在各种不同取值的情形下，通过构造辅助函数讨论了每个因子的零点均为负实部的条件，建立了与时滞相关及与时滞无关的稳定性结论.最后，本文还讨论了当环形神经网络中相邻两个神经元之间的连接被切断后所得的直线型神经网络系统的稳定性，在整个参数空间内全面地分析了系统稳定及不稳定的情况，得出了系统参数所满足的条件.数值仿真结果表明，直线型神经网络系统的参数取值范围更大，即更容易被镇定.

针对一类特殊的多目标优化问题，其每个目标函数为一个二阶连续可微凸函数与一个真凸但不必可微函数之和，提出了邻近牛顿法.我们引入了带线搜索的邻近牛顿法和不带线搜索的邻近牛顿法.在适当的条件下，我们证明了由这两类算法产生的序列的每个聚点是多目标优化问题的Pareto平稳点.此外，我们给出了它们在约束多目标优化和鲁棒多目标优化中的应用.特别地，对于鲁棒多目标优化，我们证明了邻近牛顿法的子问题可以看作二次规划问题.对此，我们还进行了数值实验，验证了该方法的有效性.

本文研究了一个n维欧氏空间中的凸初始超曲面的各向异性曲率流，其包含了高斯曲率，支撑函数和其梯度的函数.在适当的假设下，我们给出了该流的长时间存在性和收敛性的证明.作为推论，我们给出对偶Orlicz-Minkowski问题解的存在性.

基于逐次二型截尾样本，用Bayes方法估计可靠度R=P（Y<X），并对未观测样本进行预测，其中随机变量X和Y均服从参数未知的BS分布（Birnaum-Saunders distribution）.首先，在不同损失函数下分析BS分布参数和可靠度的Bayes估计.由于Bayes估计不能得到显式表达式，因此采用基于Metropolis-Hastings（MH）抽样的Markov Chain Monte Carlo（MCMC）方法估计分布参数和可靠度.其次，考虑不同损失下未观测样本的Bayes点预测以及给定可信水平下的区间预测.最后使用两组实例进行模拟.

责任准备金的链梯法中索赔进展因子占据着非常重要的作用，它体现了索赔发生后由于报告延迟和索赔延迟导致索赔进展的规律.大部分链梯法都假设进展因子是一系列非随机的参数，从而利用一般的链梯模型对准备金进行估计.然而，由于非寿险中索赔变量的非齐次性，进展因子一般也是随机变量，因而，对进展因子的估计和统计推断落入了贝叶斯框架.本文利用信度理论的思想，在多个索赔三角形数据下，给出了索赔进展因子的非齐次和齐次信度估计.进而，给出了进展因子估计中结构参数的估计，并证明了这些估计的性质，得到了进展因子的经验贝叶斯估计.最后，通过数值比较和实例分析，验证了本文给出的估计在实际中操作方便，且能得到较好的效果.

本文研究了一类分数阶随机热方程的传输不等式.这类方程是由高斯噪声驱动的，其中关于时间是白的、关于空间是彩色的.利用Girsanov定理，我们在轨道空间上关于加权的L²范数得到了Talagrand传输不等式.这在一定程度上推广了Boufoussi和Hajji（2018）中的结果.

利用Chapman-Kolmogorov等式和基本解矩阵、状态转移矩阵的概念，并结合Floquet理论，研究一类具有多变时滞的非线性中立型微分系统.首先，通过适当的积分变换得到系统解一个新的表达式.然后，利用Krasnoselskii不动点定理，给出了系统周期解的存在性，并在一定条件下构造适当的压缩映射得到该系统周期解的唯一性和零解稳定性的充分条件，改进了已有文献中的相应结果.

本文我们研究了设施建设费用为零时的带线性惩罚的$k$-种产品设施选址问题与带次模惩罚的$k$-种产品设施选址问题.在带线性惩罚的$k$-种产品设施选址问题中,每一客户均对应一定的惩罚费用,目标是选择一个开设的设施集合,将一部分客户连接到开设的设施,使得这些客户对$k$种产品的需要均得到满足,同时对另一部分客户进行惩罚,并使得客户连接费用与客户惩罚费用之和最小.针对该问题特殊结构,当$k\geq 3$时我们得到了$\frac{3k}{2}-\frac{3}{2}$ 近似算法.在带次模惩罚的$k$-种产品设施选址问题中,客户的每个子集都对应一定的次模惩罚费用,我们给出了该问题的数学规划模型,结合问题的次模性,利用原始对偶算法,当$k\geq 3$ 时得到了$\frac{3k}{2}-\frac{3}{2}$ 近似算法.

为了发挥模糊理论在不确定性预测中的优势并保留模糊时间序列(FTS)预测模型的可解释性,本文针对目前应用广泛的模糊C均值聚类(FCM)算法进行改进,提出了一种基于布谷鸟搜索的FCM (CS-FCM)算法.将CS-FCM算法用于模糊时间序列模型的非均匀论域划分与数据的模糊化处理,建立一种基于CS-FCM算法的模糊时间序列预测模型.该算法可实现聚类中心的全局寻优,降低传统FCM算法易陷入局部极小值带来的误差,提高模型预测精度.实证分析结果表明,CS-FCM算法的适应度优于FCM算法,本文模型的预测误差小于经典模糊时间序列预测模型,验证了新预测模型的有效性.

大数据背景下挖掘大规模高维数据所隐藏的信息备受关注.本文主要目的是采用分布式优化方法解决加SCAD和Adaptive LASSO惩罚的高维线性回归中的参数估计和变量选择问题.主要方法是通过构造全局损失函数的一个交互有效的正则化替代损失函数,把基于全局损失函数的优化问题转化为基于替代损失函数的优化问题.本文设计的修正的ADMM算法,在计算上,只需要子机器基于局部数据计算梯度,而主机器进行参数估计和变量选择.在主从机器交互复杂度上,基于替代损失函数所得的估计误差收敛于基于全局损失函数所得的估计误差.通过模拟和实证研究进一步验证本文提出的分布式计算方法在实际生活中的可行性和实用性.

设 $ G$ 是一个无向多重图, $ G$ 的定向直径是指 $ G$ 的所有强连通定向中直径的最小值. Dankelmann, Guo, Surmacs [J. Graph Theory, 2018, 88: 5--17] 证明了 $ n$ 阶无桥图 $ G$ 的定向直径至多为 $ n-\Delta+3$, 这里 $ \Delta$ 是 $ G$ 的最大度. 设$ H$是 $ G$ 的一个生成子图, 定义 $ N_G(H)=\bigcup\limits_{v\in V(H)}N_G(v)\setminus V(H)$, 利用上述结论他们还证明了, 给定边 $ e$ 的无桥图 $ G$ 的定向直径至多为 $ n-|N_G(e)|+5$, 以及给定无桥子图 $ H$ 的无桥图 $ G$ 的定向直径至多为 $ n-|N_G(H)|+3$. 设 $ P_3=uvw$ 是 $ G$ 的一条长为 2 的路. 易见 $ P_3$ 包含两条边且这两条边均是 $ P_3$ 的桥. 本文利用将一条路收缩为一点的方法证明了给定 $ P_3$ 的无桥图$ G$ 的定向直径的上界为 $ n-|N_G(P_3)|+5$.特别地, 若 $ P_3$ 在一个 4 圈上或 $ P_3$ 不在一个圈上但 $ uv, vw$ 分别在一个 3 圈上, 定向直径至多为 $ n-|N_G(P_3)|+4$. 最后举例说明了上述上界是紧的.

研究了一类具有转向点的奇摄动拟线性边值问题,指出在一定条件下解在转向点\ $t=0$ 呈激波层现象.先用合成展开法构造出问题的形式近似,然后利用衔接法将$t=0$左、右两边分别具有边界层性质的近似式光滑地衔接起来,从而形成在$t=0$处具有激波层性质的解,并应用微分不等式理论证明了解的存在性及其渐近性质.

本文研究了一个具有弱阻尼项和耦合源项的粘弹性波动方程组的初边值问题.首先,在一定的初边值条件下,应用位势井理论证明了解的整体存在.其次,在松弛函数满足一定的条件下,利用能量扰动的方法结合微分不等式技巧证明了解能量的一般衰减性结果.

期权定价是金融数学领域中最复杂的问题之一.随着不确定理论公理化的建立,利用不确定理论进行期权定价的研究逐步展开,而分数阶微分方程的分数阶导数项可以很好地刻画金融市场的记忆特性.本文在机会空间中提出了一种新的不确定市场模型,假设股票价格满足Caputo型的不确定分数阶微分方程,且随机利率满足随机微分方程.基于该模型,利用Mittag-Leffler函数和微分方程的$ \alpha$-轨道我们给出了蝶式期权和欧式价差期权的定价公式及数值例子.

当前,新型冠状病毒肺炎(COVID-19)在全球大部分地区肆虐,对人类生命安全和社会经济活动带来严峻挑战.新型冠状病毒肺炎的传播强度随时间的变化规律及其影响因素是传染病学家关心的重要问题.基于新型冠状病毒肺炎病例数,本文提出变系数Hawkes过程,分析日本,韩国以及北京市,武汉市新冠肺炎传播强度随时间变化的趋势,评估突发事件和政府采取的干预措施对疫情防控的影响.本文基于样条逼近技术建立半参数估计方法,数值模拟结果表明所提出方法在有限样本下具有良好表现.该研究可为疫情防控提供有益的统计建议.

本文首先定义了理性函数,构造了有限理性模型,研究了有限理性下种群博弈NTU核的稳定性;其次,又进一步定义了种群博弈另一种合作均衡即强均衡的概念,并且采用类似的方法研究了有限理性下该强均衡的稳定性.研究结果表明:在我们所构造的有限理性模型框架下,对大多数的种群博弈(在Baire分类意义下)其NTU核和强均衡都是稳定的.

本文基于Lotka-Volterra竞争方程提出了一个包含癌细胞与健康宿主细胞两种细胞群在内的动力学模型,研究了持续化疗对系统稳态解的影响.讨论了该系统达到稳态时,解的三种可能情况:癌细胞与健康细胞共存,癌细胞被根除以及健康细胞被灭活.通过对系统解的进一步理论分析,得到了解的存在性和全局渐近稳定性的充分条件.数值模拟进一步验证了理论结果.同时还发现,系统的稳态解与化疗药物的输注速率和化疗药物对癌细胞的杀伤率有关.研究表明在我们的模型中高浓度的化疗药物有可能完全根除癌细胞,但阈值取决于药物对癌细胞的杀伤系数(不考虑细胞突变及耐药性的产生).而对于癌症治疗而言,加强对癌细胞的杀伤率比提高药物剂量更效.

作为可度量某数据点相对于给定多元数据集中心化程度的工具,统计深度函数在多元稳健数据分析中发挥着重要的作用.在过去数十年中,许多著名的深度函数被相继提出.然而,现有的这些深度函数主要用于位置情形下的描述性或推断性统计分析,尚难被用于回归情形下的类似分析.鉴于此,本文考虑了如何将现有的深度函数推广至回归情形,并提出了一类新的可助于此类推广的一般回归深度函数.本文最后通过示例展示了所提回归深度的相关性质.

基于一个新的搜索方向，提出求解一般Fisher市场均衡的线性权互补（LWCP）模型的全牛顿步可行内点算法.运用内点算法中的一个连续可微函数，给出光滑中心路径的代数等价形式，从而得到LWCP的新搜索方向.通过推广线性优化的全牛顿步内点算法，提出求解LWCP的全牛顿步可行内点算法.算法每次迭代运用全牛顿步，无需进行线性搜索，节省计算工作量和内存.证明算法求解线性权互补问题和一般Fisher市场均衡的多项式复杂度.数值算例结果表明算法有效.

非线性发展方程在工程技术领域有广泛的应用，求非线性微分方程的精确解一直是其中的重点和难点.目前已经提出了许多求解方法，如反散射方法、李群方法、Backlund变换方法及一些直接展开方法，包括双线性方法、混合指数法、齐次平衡法、双曲函数展开法、Jacobi~椭圆函数展开法等.本文在试探方程法的基础上提出了耦合试探方程法，求解了一个描述具有不同色散关系的两个长波相互作用的Hirota-Satsuma耦合KdV方程组，再借助多项式完全判别系统给出了该方程组行波解的分类，得到了四组孤立波解，两组不连续周期解和七组Jacobi椭圆函数解.通过与其他文献的比较，我们得到的解包括其中的一些解，并且得到了用其他方法目前尚未得到的新解.

排序集抽样方法适用于样本测量困难但排序容易的场合，其样本包含了次序信息.指数分布在寿命试验中占有非常重要的地位，为了提高指数分布参数的估计效率，本文提出了排序集抽样下参数的最优线性无偏估计量，计算了新估计量的方差，证明了其具有渐近正态性.相对效率和模拟效率的研究结果表明：新估计量的估计效率不仅高于简单随机抽样下一致最小方差无偏估计量，也高于排序集抽样下样本均值和修正极大似然估计量.最后，将推荐方法应用到转移性肾癌的临床研究中，从而验证该方法的有效性.

本文考虑目前国内实施的跟踪隔离和筛查措施，以及南京关联疫情外溢情况，基于全国和江苏省疫情报告数据以及百度人口迁徙数据，构建了考虑中国大陆31个省、自治区和直辖市的新冠肺炎传播复杂网络模型.旨在研究疫情发展趋势、防控措施的有效性以及突发性疫情外溢传播风险.首先基于确诊病例、跟踪隔离密切接触者以及外溢省份数量等数据拟合模型，估计了本次疫情的发展趋势和感染规模，探讨了常规防控和应急响应措施对疫情发展态势和防控效果的影响.其次重点研究了给定初始暴发区域时其余地区的外溢感染风险，给出了外溢高风险区域识别方法，以及高风险区域排序.通过与2020年武汉、北京和辽宁疫情外溢情况对比，验证了方法的可靠性，并以此发布各省份高风险输入预警，为后期的突发疫情防控以及外溢风险提供早期预警.

本文求解了一类半定二次规划的逆问题.具体可描述为在保证一个可行的解是原半定二次规划问题的最优解的前提下，使目标函数中的参数以及约束条件中右端项参数与它们的估计值的距离最小.我们将该逆问题转换为具有线性约束和半正定锥互补约束的问题.再利用对偶理论，又将上述问题转化成只有半正定锥互补约束的问题，但此时也是一个难问题，通过引入一个非光滑的惩罚函数来惩罚互补约束，进而将原问题转化为一个DC问题.再采用序列凸规划方法来求解它，同时给出惩罚方法以及序列凸规划方法的收敛性分析.最后的数值实验表明我们采用的方法对于本文提出的问题求解还是非常有效的.

图的（列表）动态染色模型可用于解决信道分配中的一些关键问题，是图论和理论计算机科学领域的一个重要的研究方向.Kim和Park （2011）给出了任何最大平均度小于8/3的图的列表动态色数至多为4的证明.然而，由于具有5个顶点的圈$C_5$的最大平均度为2且列表动态色数为5，因此Kim和Park的上述结论是错误的.基于此，本文证明了任何最大平均度小于8/3的普通图（每个连通分支都不与$C_5$同构的图）的列表动态色数至多为4，且该上界4是最优的，从而对Kim和Park的结果进行了修正.与此同时，本文证明了如果图$G$是系列平行图，则当其是普通图时，其列表动态色数至多为4，且该上界4是最优的，当其不是普通图时，其列表动态色数恰好为5，从而将Song等人（2014）的结果"任何系列平行图的列表动态色数至多为6"进行了改进.

本文提出一个求解非光滑凸优化问题非精确梯度镜面下降算法.该算法是Allen-Zhu 2016年提出求解光滑凸优化问题梯度镜面下降算法的推广，而且该算法允许目标函数中光滑部分梯度计算和非光滑部分邻近算子计算都存在误差，并且在适当条件下分析了该算法函数值序列的$O，（\frac{1}{k^{2}}）$收敛速度，这里$k$表示迭代数.最后关于Lasso问题和Logistic问题的数值结果表明该算法是有效的.